nierówność logarytmiczna
Archy: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
| | √2 | | √2 | |
log |
| (m2x2+2mx+2m+1)<log |
| (x2+2mx+2m) |
| | 2 | | 2 | |
21 kwi 11:09
J:
co ?
21 kwi 11:11
Archy: jest spełniona dla wszystkich x∊R
21 kwi 11:11
J:
1) założenie: obydwa nawiasy dodatnie
2) lewy nawias większy od prawego
21 kwi 11:13
Archy: tyle to wiem
21 kwi 11:13
J:
no to do dzieła
21 kwi 11:14
Archy: no tylko właśnie nie wiem jak to skończyć
mamy x2(m2)+1>0
więc mam policzyć Δdla x? przy założeniu że Δ<0?
21 kwi 11:15
Archy: x2(m2−1)+1 *
21 kwi 11:15
J:
lewy nawias:
dla m = 0 jest dodatni
dla m ≠ 0 ...jedyny warunek, to Δ < 0
21 kwi 11:17
J:
prawy nawias: jedyny warunek: Δ < 0
21 kwi 11:18
Archy: prawy nawias dla m=0 też będzie dodatni
21 kwi 11:20
J:
nie... dla x = 0 będzie równy 0
21 kwi 11:21
Archy: aha no
21 kwi 11:22
J:
reasumując dla obydwu nawiasów: Δ < 0
21 kwi 11:23
Archy: czyli Δ dla lewego: 4m2−8m3−4m2=−8m3
21 kwi 11:25
Archy: więc m<0
21 kwi 11:26
Archy: więc m∊(0;∞)
21 kwi 11:29
Archy: biorąc pod uwagę jeszcze że m=0 to m∊<0;∞) dla lewego nawiasu, tak?
21 kwi 11:31
J:
nie − 8m3 < 0 ⇔ m3 > 0 ⇔ m > 0
21 kwi 11:31
Archy: no to m∊R
21 kwi 11:33
J:
nie dla lewego nawiasu: m ∊ (0,+∞)
21 kwi 11:33
Archy: zbiór zamknięty z lewej strony powinien być
21 kwi 11:34
J:
nie , bo dla m = 0 mamy: Δ = 0 ... a to jest niedopuszczalne w tym zadania
21 kwi 11:35
J:
a jeśli Δ = 0 .. to lewy nawias dla pewnego x jest równy 0, a to jest sprzeczne z założeniem
21 kwi 11:37
Archy: aha ok
21 kwi 11:37
J:
...nie... teraz spojrzałem...dobrze .... m ∊ <0,+∞)
21 kwi 11:38
Archy: a w prawym nawiasie m∊(0;2)
21 kwi 11:44
J:
tak .... zatem obydwa założenia dają: m ∊ (0,2)
21 kwi 11:46
Archy: jeszcze trzeba rozwiązać nierówność logarytmiczną?
21 kwi 11:47
J:
tak .... lewy nawias > prawy nawias
21 kwi 11:48
Archy: ok minutka
21 kwi 11:48
Archy: czyli m=1 i Δ<0
a Δ wyszła −4m+4
więc m>1
m∊(1;∞)
ostateczny wynik m∊(1;∞)
21 kwi 11:51
J:
za daleko ... przecież masz założenie: m ∊ (0,2) ... zatem ostatecznie: ?
21 kwi 11:53
Archy: a no tak
zatem m∊<1;2)
21 kwi 11:54
Archy: bardzo dziękuję za pomoc
21 kwi 11:55
J:
otwarty
21 kwi 11:56
Archy: no ale ta nierówność jest >0 dla m=1 też
21 kwi 11:57
J:
popatrz na założenie 11:46 ( decyduje prawy nawias )
21 kwi 12:00
Archy: czyli dobrze napisałem
21 kwi 12:03
J:
jeśli m ∊ (1,+∞) ∩ (0,2) ⇔ m ∊ (1,2)
21 kwi 12:10
Archy: ale m∊<1;∞) ∩ (0;2)
bo nierówność jest >0 także dla m=1
21 kwi 12:11
J:
jeśli w prawym nawiasie wstawisz m = 1 , dostaniesz x2
i dla x = 0 prawa strona nie istnieje !
21 kwi 12:14
Archy: dobra już rozumiem
dzięki że poświęciłeś mi czas
21 kwi 12:15