ciąg Kasia: ciąg (a_n) określono rekurencyjnie w następujący sposób:a₁=√2 i

	1		1
an+1=		(an+		). Udowodnij, że wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od 1, zaś
	2		an

sam ciąg jest ciągiem malejącym.

vaultboy: z nierówności między średnimi a_n+(1/a_n)≥2 , tak wgl wszystkie wyrazy są dodatnie zatem a_n+1≥1/2 * 2=1 ,ale równość w średnich zachodzi gdy wyrazy są równe wtedy byłoby a_n=(1/a_n) skoro a_n>0 to a_n=1. Ale a_n≠1, bo wtedy musiałoby być a_n−1=1 i idąc tak w dół doszlibyśmy, że a₁=1, czyli sprzeczność zatem zachodzi nierówność ostra, a nie słaba. dalej badasz różnicę iloraz a_n+1/a_n lub różnicę a_n+1−a_n zbadajmy iloraz a_n+1/a_n=1/2[1+1/(a_n)²]<1/2[1+1]=1 czyli ciąg jest malejący c.k.d.