udowodnij Kasia:

	a+b		a+b
Udowodnij, że jeżeli a, b ∊(1;+∞), to loga		+logb		≥2
	2		2

PW:

a+b
	≥ √ab (nierówność między średnimi), a więc
2

	a+b
loga		≥ loga√ab (logarytn o podstawie a > 1 jest funkcją rosnącą)
	2

	a+b
logb		≥ logb√ab (logarytn o podstawie b > 1 jest funkcją rosnącą).
	2

Po dodaniu stronami

	a+b		a+b
loga		+ logb		≥ loga√ab + logb√ab ≥
	2		2

log_a√a + log_a√b + log_b√a + log_b√b =

	1		1		1		1
		+		logab +		logba +		=
	2		2		2		2

	1
1 +		(logab + logba),
	2

ostatecznie

	a+b		a+b		1
(2) loga		+ logb		≥ 1 +		(logab + logba)
	2		2		2

Wiadomo, że (wzór na zamianę podstawy logarytmu)

	1
logba =		,
	logab

zatem suma (3) log_ab + log_ba ma postać

	1
x +		.
	x

Jak wiadomo dla x > 0 prawdziwa jest nierówność

	1
x +		≥ 2.
	x

Zastosowanie tej nierówności do sumy (3) w nierówności (2) kończy dowód.