algerba ami: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz niech v,w∊V,a,b∊K. Pokazać,że (a) av=0 wtedy i tylko wtedy gdy a=0 lub v=0, (b) av+bw=bv+aw wtedy i tylko wtedy gdy a=b lub v=w.

Przemysław: Nie wiem, czy dobrze, ale a) może tak: "w prawo"

	⎧	a*v1=0
a*v=	⎨	...
	⎩	a*vn=0

gdyby a≠0 i v≠0 to układ nie miałby rozwiązań "w lewo" a=0 0*v=0 v=0 a*0=0

Przemysław: b) "w lewo" a=b bv+bw=bv+bw v=w aw+bw=bw+aw dodawanie jest przemienne, bo (V,+) jest grupą abellową. "w prawo" gdyby a≠b i v≠w to:

⎧	av1+bw1=bv1+aw1
⎨	...
⎩	avn+bwn=bvn+awn

⎧	v1(a−b)=w1(a−b)
⎨	...
⎩	vn(a−b)=wn(a−b)

ma rozwiązania gdy:

⎧	v1=w1
⎨	...
⎩	vn=wn

wtedy:

⎧	w1(a−b)−w1(a−b)=0
⎨	...
⎩	vn(a−b)−wn(a−b)=0

⎧	0=0
⎨	...
⎩	0=0

lub a=b, wtedy:

⎧	v1(b−b)=w1(b−b)
⎨	..
⎩	vn(b−b)=wn(b−b)

⎧	v1*0=w1*0
⎨	...
⎩	vn*0=wn*0

⎧	0=0
⎨	...
⎩	0=0

wbrew założeniu.

Przemysław: Ale nie wiem, czy to jest dobrze

ami: bardzo dziękuje