dowód algebraiczny z aksjomatu YushokU: Witam, mam problem z zadaniem na dowodzenie. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a i b, niewiększych od 1, prawdziwa jest nierówność

	1
ab2−a2b≤		.
	4

Ja zrobiłem tak, ale nie jestem zbytnio przekonany do swojego rozwiązania.

	1
a2b−ab2+		≥0
	4

	1
f(a)=a2b−ab2+
	4

f'(a)=2ab−b²=b(2a−b)

	b
f'(a)=0 dla a=
	2

Oczywiście ustalam gdzie pochodna większa, gdzie mniejsza, gdzie funkcja rośnie, gdzie maleje

	b
dla a=		funkcja osiąga minimum.
	2

	b		b		1		b3		1
g(b)=(		)2b−		*b2+		=−		+
	2		2		4		4		4

	−3b2
g'(b)=
	4

g(b)≤0 dla b∊R, więc g(b) jest malejąca w całej swojej dziedzinie Więc g(b) osiąga najmniejszą wartość na krańcu dziedziny. g(1)=0

	1
limx→0+g(x)=
	4

Nierówność jest spełniona, bo Zw≥0 Nie podoba mi się to rozwiązanie moje, chciałem tu coś zauważyć, ale nijak mi to wychodziło. Dlatego proszę o sprawdzenie tego i opinię o rozwiązaniu, ewentualnie ukazanie mi prostszego rozwiązania

b.: Mi się to rozwiązanie podoba. Na upartego można to rozwiązanie przerobić na krótsze i bardziej trikowe. Teza: ab(b−a) <= 1/4. Gdy a>=b to nie ma czego dowodzić, załóżmy więc, że 0<a<b<=1. Ponieważ z rozwiązania widać, że ekstremalnym przypadkiem jest a=b/2 oraz b=1, czyli a=1/2, więc skorzystamy z nierówności między średnimi dla 2a, b, 2(b−a) (te trzy liczby są równe sobie w ekstremalnym przypadku; to ważne, bo w tym ekstremalnym przypadku nie możemy nic stracić, więc musimy mieć równości w oszacowaniach):

	2a + b + (2b−2a)		3b
3√2a*b*(2b−2a) <=		=		<= 1.
	3		3

stąd teza. Oczywiście dla zrobienia wrażenia na kolegach/koleżankach, nie należy zbyt dokładnie wyjaśniać dlaczego akurat bierzemy 2a, b, 2(b−a) w nierówności między średnimi

YushokU: mi zależy, żeby zrobić wrażenie na egzaminatorze, który będzie sprawdzał moją maturę Czyli moje rozwiązanie jest ok? @b twojego trochę nie ogarniam, ale postaram się rozpisać na kartce i dotrzeć

PW: Sposób b. jest piękny, ale trudny do wymyślenia dla ucznia. Wrażenie na egzaminatorze zrobisz, gdy zastosujesz poprawną "szkolną" metodę.

	1
(1) ab(b−a) ≤		.
	4

Rzeczywiście dla b ≤ a nie ma czego dowodzić − lewa strona jest niedodatnia. Dla b > a możemy oznaczyć a = kb, gdzie k jest pewną liczbą dodatnią, mniejszą od 1. Nierówność przyjmuje postać

	1
kb2(b−kb) ≤		, k∊(0, 1), b∊(0,1)
	4

	1
(2) − k(k−1)b3≤		, k∊(0, 1), b∊(0,1).
	4

Jak wiadomo funkcja f(k) = − k(k−1), k∊(0, 1)

	1
przyjmuje maksymalną wartość		i jest dodatnia. W tym miejscu za dużo nie musimy
	4

tłumaczyć, rysujemy po prostu wykres i podpisujemy go:

	1		1
fmax = f (		) =		.
	2		4

Oznacza to, że

	1
(3) 0 < − k(k−1) ≤		.
	4

Z założenia 0 < b ≤ 1, a więc (4) 0 < b³ < 1. Wymnożenie stronami (3) i (4) daje (2), czyli nierówność rózwnoważną (1), co kończy dowód.

PW: Poprawka: powinno być b ∊(0, 1> w (2) i linijka wcześniej, a w (4) b³ ≤ 1. Trochę już mi przychodzi z trudem pisanie, ciągle się mylę.

YushokU: ooooo, dziękuję PW! w życiu nie robiłem zadania z użyciem tego k, ale sposób jest bardzo jasny i zrozumiały

PW: Tak myślę, że lepiej byłoby oznaczyć to jako x, bardziej trafia do przekonania, ze jest to "kawałek paraboli". Cieszę się, że masz już 3 wersje rozwiązania, bo jesteś tego wart (widzę Twoje postępy)

YushokU: @PW Dziękuję za te słowa, bardzo mi miło