wykaż, że --->pierwiastki ehh: Pomocy! wykaż, że jeśli x=³√√6+√5−³√√6−√5 , to x³ +3x=2√5

pigor: ..., wystarczyło podnieć do potęgi 3−ej obustronnie; nieco ... zamieszać pierwiastkami, czyli trochę za(w)prawy w działaniach na pierwiastkach aż otrzymasz tezę i to tyle. ...

PW: Ja zawsze zalecam mój ulubiony sposób: zauważyć, że

	1
√6 − √5 =
	√6+√5

(kto nie wierzy, niech usunie niewymierność). Wobec tego pierwiastki trzeciego stopnia tych liczb też są liczbami odwrotnymi, symbolicznie: jeżeli (1) ³√√6+√5 = u, to

	1
(2) 3√√6−√5 =		.
	u

Kazali nam rozważyć liczbę

	1
x = u +
	u

i sumę x³ + 3x. Liczymy:

	1		1		1		1
x3 + 3x = (u+		)3 + 3(u+		) = (u+		)((u+		)2+3) =
	u		u		u		u

	1		1		1		1		1
= (u+		)(u2+2u		+		+3) = (u+		)(u2+		+5) =
	u		u		u2		u		u2

	1		1		5		6		1
= u3+		+ 5u + u +		+		= u3 + 6u +		+		.
	u		u3		u		u		u3

Po podstawieniu (1) i (2)

	1
x3 + 3x = √6+√5 + 6·3√√6+√5 + 5·		+ √6 − √5 =
	3√√6+√5

	63√√6+√53√√6+√5 + 5
= 2√6 +		=
	3√√6+√5

PW: O, przepraszam, to była wersja robocza i niechcący wcisnąłem "wyślij" zanim się wyplątałem. Tam są błędy, nie czytać i proszę nie krytykować

pigor: ... , twój nick dużo mi mówi, więc może zrobię to ze wzoru (a−b)³=a³−3a²b+3b²a−b³ kolejno tak : x = ³√√6+√5−³√√6−√5 /³ ⇔ x³= (³√√6+√5−³√√6−√5)³ ⇔ x³= =√6+√5−3(³√√6+√5)^{2 3}√√6−√5+3(³√√6−√5)^{2 3}√√6+√5−√6+√5 ⇔ ⇔ x³= 2√5−3³√(√6+√5)(√6−√5) (³√√6+√5−³√√6−√5) ⇔ ⇔ x³= 2√5−3³√(6−5) x ⇔ x³= 2√5−3³√1x. ⇔ x³−3x=2√5 . c.n.w.

ehh: Dziękuję pięknie!