zbadać monotonicznośc ciągu j: Zbadać monotoniczność ciągu

	(2n)!
an =
	3n

	(2n + 2) !
wiem że trzeba obliczyć an+1 czyli =
	3n+1

i teraz trzeba odjąć a_n+1 − a_n ale jak bo ja mam zrobione to w zeszycie ale nie rozumiem tego w jaki sposób zostało to zrobione.

j: odświeżam

Basia: a_n+1−a_n =

(2n+2)!		(2n)!
	−		=
3n+1		3n

(2n+2)!		(2n)!
	−		=
3n*3		3n

(2n+2)!−3*(2n)!
3n+1

mianownik jest na pewno dodatni badamy licznik (2n+2)!−3*(2n)! = (2n)!*(2n+1)(2n+2)−3*(2n)! = (2n)!*[ (2n+1)(2n+2)−3 ] = (2n)!*[4n²+4n+2n+2−3] = (2n)!*(4n²+6n−1) (2n)! na pewno jest dodatnie badamy trójmian kwadratowy y = 4n²+6n−1 Δ=6²−4*4*(−1) = 36+16 = 52 = 2*26=2*2*13 √Δ=2√13

	−6−2√13
n1 =		<0
	8

	−6+2√13
n2 =		>0
	8

4n²+6n−1 < 0 ⇔ n∊(n₁ ; n₂) pytanie czy jakaś liczba naturalna należy do tego przedziału przypuśćmy, żę n₂ 1 (wtedy by tak było i ciąg nie byłby monotoniczny)

−6+2√13
	≥ 1
8

2(−3+√13
	≥ 1
8

−3+√13
	≥ 1 /*4
4

−3 + √13 ≥ 4 √13 ≥ 7 13 ≥ 49 sprzeczność czyli przypuszczenie jest fałszywe stąd: n₂<1 czyli dla każdego n∊N₊ a_n+1−a_n > 0 czyli ciag jest rosnący −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− w przypadku tego ciągu łatwiej to zrobić inaczej zaraz Ci to napiszę w drugim wpisie

Basia:

an+1
	=
an

(2n+2)!   3n+1
	=
(2n)!   3n

(2n+2)!		3n
	*		=
3n+1		(2n)!

(2n)!*(2n+1)(2n+2)		3n
	*		=
3n*3		(2n)!

(2n+1)(2n+2)
	=
3

4n2+6n+2
3

n≥1 ⇒ 4n²≥4*1²=4 i 6n≥6*1=6 ⇒ 4n²+6n+2 ≥4+6+2=12

an+1
	=
an

4n2+6n+2		12
	≥		= 4
3		3

czyli

an+1
	≥4 > 1
an

a_n+1 > a_n mamy prawo pomnożyć przez a_n bez zmiany kierunku nierówności bo

	(2n)!
an =		> 0 dla każdego n∊N
	3n

czyli dla każdego n∊N a_n+1>a_n czyli ciąg jest brosnący

Nikka: do pierwszego rozwiązania − badanie znaku różnicy... nie można po prostu: 4n² + 6n − 1 > 0 dla każdego n∊N⁺ (bo 4n² + 6n > 1 dla każdego n∊N⁺)

Basia: można oczywiście, przeoczyłam to 4n²≥4 6n≥6 4n²+6n−1 ≥4+6−1≥9 > 0

j:

	(2n + 2)!		(2n)!
a ja w zeszycie mam coś takiego an +1 − a{n} =		−		=
	3n+1		3n

	(2n)!(2n+1)(2n+2)		(2n)! * 3
		−
	3n * 3		3n * 3

(2n)![(2n + 1)(2n+2) − 3]
	> 0
3n * 3

	(2n)!
i tak w kółko mam wzięte		i napisane że jest większe od 0 oraz że reszta
	3n * 3

czyli [(2n + 1)(2n+2) − 3] tez jest większa od zera, umiałby mi ktoś to wytłumaczyć bo to rozwiązanie u góry jest bardzo długie i na zaliczeniu nie będę miał czasu się tak rozpisywać

Basia: (2n)! >0 bo (2n)! = 1*2*....*(2n) to chyba oczywiste 3ⁿ*3> 0 bo 3ⁿ*3 = 3ⁿ⁺¹=3*3*..........*3 to też chyba oczywiste (2n+1)(2n+3)−3 = 4n²+6n+2n +3−3 = 4n²+6n = 2n(2n+3) n oznacza liczbę naturalną >0 czyli 2n≥2*1=2>0 i 2n+3≥2*1+3=5>0