PW: Policzmy ile jest 5−wyrazowych ciągów przyjmujących trzy różne wartości a, b, c.
Są to ciągi:
(1) (a,b,c,a,a)
(2) (a,b,c,b,b)
(3) (a,b,c,c,c)
(4) (a,b,c,a,b)
(5) (a,b,c,a,c)
(6) (a,,b,c,b,c)
oraz wszystkie uzyskane z nich w wyniku permutacji elementów. Mamy do czynienia z permutacjami
z powtórzeniami, a więc:
| | 5! | |
− ciągów typu (1), (2) i (3) jest po |
| (przestawiać można 5 elementów, ale 3 z nich są |
| | 3! | |
nierozróżnialne między sobą)
| | 5!| | |
− ciągów typu (4), (5), (6) jest po |
| (przestawiać można 5 elementów, ale wśród |
| | 2!2! | |
nich są 2 nierozróżnialne i 2 inne nierozróżnialne między sobą).
Wobec tego − mając wybrane 3 różne cyfry − można utworzyć
| | 5! | | 5!| | | 1 | | 1 | | 5 | |
3· |
| + 3· |
| = 3·5!( |
| + |
| ) = 3·5! |
| = 150 |
| | 3! | | 2!2! | | 6 | | 4 | | 12 | |
różnych ciągów 5−elementowych przyjmujących tylko wartości a, b i c.
| | | |
Wyboru 3 cyfr spośród 10 można dokonać na | sposobów, tak więc 5−elementowych ciągów |
| | |
utworzymy
Byłoby to rozwiązanie zadania, gdyby nie fakt, że opisane ciągi z zerem na pierwszym miejscu
nie są modelem liczby pięciocyfrowej. Należy więc odjąć wszystkie możliwe ciągi typu
(0,a,b,0,0)
(0,a,b,a,a)
(0,a,b,b,b)
(0,a,b,a,b)
(0,a,b,0,a)
(0,a,b,0,b)
przez co rozumiemy wyżej wymienione ciągi oraz powstałe z nich w wyniku permutacji czterech
elementów − oprócz początkowego 0, przy założeniu że 0, a i b są różnymi cyframi.
Myślę, że policzenie tego nie sprawi kłopotu.
Eta:
To może jeszcze tak
Liczba pięciocyfrowa zawierająca trzy różne cyfry może się składać:
1/ z trzech jednakowych cyfr i dwu innych cyfr różnych od tej trójki
wybieramy dla tych jednakowych cyfr
| | | |
3 miejsca z 5 miejsc na | =10 sposobów |
| | |
i znaczące cyfry wybieramy na 9*9*8 sposobów ( bo pierwsza bez zera)
R−m 10*9*9*8= 6480 takich liczb
2/ po dwie jednakowe cyfry ( różne ) mamy : xxyy, xyyx, xyxy ( 3 takie grupy
| | | |
i jedna cyfra różna od poprzednich miejsce dla niej wybieramy na | =5 sposobów |
| | |
cyfry znaczące podobnie jak poprzednio na 9*9*8 sposobów
R−m 5*3*9*9*8= 9720 takich liczb
ostatecznie mamy: 6480+9720=
16 200 takich liczb
