Matura, a rozpisywanie się. Zadanie + Pytanie Tomasz: Witam. W ramach przygotowania do matury otrzymałem między innymi takie zadanko: Punkty A(1,5) i B(3,1) są wierzchołkami kwadratu ABCD położonego w całości w I ćwiartce układu współrzędnych. Wierzchołek C jest jednocześnie środkiem okręgu o₁, którego promień ma długość √5 . Okrąg o₁ przecina boki kwadratu ABCD w punktach P i Q. Oblicz pole trójkąta PQR, gdzie R jest środkiem symetrii kwadratu ABCD. Na pierwszy rzut oka wydaje się ono być skomplikowane i faktycznie można sobie je strasznie skomplikować. Można jednakże rozwiązać je w niecałą minutkę logicznie. Okrąg z punktu C przecina kwadrat dokładnie w 2 miejscach, a prowadząc odcinek między punktami przecięcia widzimy, iż powstały trójkąt jest prostokątny. Zatem pole trójkąta, które jest głównym celem ów zadania liczymy ze wzoru ^{√5 * √5}₂ ( ^a*h₂ ). Przedstawiłem nauczycielowi takie rozwiązanie, a on oznajmił mi, iż zadanie tego typu można by prawdopodobnie dostać wiele punktów, a za rozwiązanie w takim stylu dostałbym maksymalnie 2−3 punkty. Poważnie ? Matematyka to logika. Rozwija logiczne myślenie i wykuwanie kolejnych wzorów daje nam możliwość spojrzenia na problem pod innym kątem. Zatem naprawdę muszę poświęcać prawie pół godziny (tyle zajęło mi wykonanie tego zadania. Algebraiczne znalezienie punktu C i D, Q i P, długości boków RQ QP PR i policzenie pola korzystając z odpowiedniego wzoru, pomijając już, że po drodze były przynajmniej dwa równania kwadratowe do policzenia) i ponad stronę a4 na rozwiązanie ? Przecież twórca tego zadania specjalnie je tak sformułował, aby osoba znająca się na rzeczy potrafiła wskazać wynik bez zbędnego tracenia czasu tym bardziej, że prawie 30 min na maturze, na 1 zadanie to szaleństwo. Discuss.

PW: Jakie znowu rachunki straszne? Liczysz długość boku kwadratu: a = 2√5. Stwierdzasz, że okrąg przecina boki kwadratu w połowie. Tym samym PCQR jest kwadratem o boku √5, a pole trójkąta PQR jest równe połowie pola tego kwadrat. Pięć minut na rozwiązanie, dziesięć ze starannym opisem i rysunkiem.

Tomasz: Zrobiłem to zadanie również na twój sposób, ale to rozwiązanie również jest "zbyt krótkie" na takie zadanie bo nie wykorzystuje wszystkich informacji zawartych w treści pytania. Tak przynajmniej powiedział mi mój nauczyciel, który jest w maturalnej komisji egzaminacyjnej. Prawidłowe rozwiązanie powinno wyglądać tak (rachunki są zbyt długie, więc podaje po prostu plan działania): −Rysujemy sobie wykres, na którym będziemy pracować −wyznaczamy równania wszystkich prostych (AB, AD, BC, CD) oraz punkty C i D −wyznaczamy punkty P, Q i R −Liczymy pole. Doskonale rozumiem, iż w tym zadaniu świetnie widać współrzędne wszystkich punktów na wykresie i bez problemu można by rozwiązać to zadanko w parę chwil, ale podobno takie rozwiązanie nie jest właściwe.

Tomasz: *a raczej nie tyle rozwiązanie nie będzie właściwe, co sposób dotarcia do niego.