JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ BraciaRatujcie: JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ PW i inni, ratujcie Jak wykazać jednostajną ciągłość funkcji f(x) = √ x² + x określonej następująco [0; +∞) → R

vaultboy: wystarczy pokazać że |f(x)−f(y)|≤c|x−y| dla pewnego c∊R b.s.o x>y wtedy możemy opuścić moduły w naszej nierówności √x²+x−√y²+y=[x²+x−y²−y]/[√x²+x+√y²+y]=[(x−y)(x+y+1)]/[√x²+x+√y²+y] mamy pokazać, że [(x−y)(x+y+1)]/[√x²+x+√y²+y]≤c(x−y) dzieląc przez x−y otrzymuję do pokazania (x+y+1)/[√x²+x+√y²+y]≤c myślę, że dalej sobie poradzisz

BraciaRatujcie: 1. Co znaczy b.s.o? 2. Nie mam niestety pomysłu

PW: Bez straty ogólności (któraś musi być większa, nie ma przeszkód by nazwać ją x).

BraciaRatujcie: No ok, tylko co dalej z tym Lipschitzem?

b.: Rozwiązanie z 21:56 niestety nie działa, f nie jest lipschitzowska (widać też z ostatniej linijki: gdy x,y są małe, to lewa strona jest duża). Rachunki się jednak przydadzą. ustalmy epsilon, bierzemy dow. x,y t. że |x−y|<δ, gdzie δ zostanie ustalone później wówczas 1. albo x,y są oba oddzielone od 0, np. gdy x,y > a > 0, to

	x+y+1		x+y+1		1
		<		< 1+
	√x2+x+√y2+y		x+y		2a

	1
(skąd mamy lipschitzowskość na [a,∞) ze stałą 1+		)
	2a

2. albo x,y są oba blisko zera, np. gdy x,y < a, to |f(x)−f(y)| < 2f(a) i to jest małe, gdy a małe napisanie wszystkich szczegółów jest nudne i nie chce mi się tego robić, mam nadzieję, że dasz radę uzupełnić w razie potrzeby

BraciaRatujcie: Jak połączyć te dwa warunki w jedną "jednostajną ciągłość"? Dla ustalonego ε > 0 wybrać δ₁ oraz δ₂ (dla obu rozważanych przedziałów...), a z nich maksimum i wtedy będziemy mieli jednostajną ciągłość na [0; +∞), czy jakoś inaczej to trzeba

b.: przedział z punktu 2. zależy od epsilona... po prostu, rozważamy 2 przypadki, albo x i y są daleko od zera (przypadek 1), albo blisko (2.), i w każdym szacujemy nieco inaczej, ale za każdym razem przez epsilon...

BraciaRatujcie: Trzeba teraz pokazać, że skoro zachodzi 1 i 2, to mamy jednostajną ciągłość na całej dziedzinie... Dla ustalonego epsilona wyjdzie nam jakaś delta, zapewne różna w obu przypadkach. Więc wybierzemy maksimum z tej delty i stąd zachodzi jednostajna ciągłość na całej dziedzinie. Zgadza się? Dzięki za pomaganie mi

b.: minimum, nie maksimum poza tym trudno ocenić, czy się zgadza, diabeł tkwi w szczegółach...

BraciaRatujcie: Jasne, minimum

BraciaRatujcie: Mam w sumie problem z wykazaniem, że na przedziale [0; a] ta funkcja jest jednostajnie ciągłą. Oczywiście wynika to z odpowiedniego twierdzenia, ale rozpisując z definicji − jakoś tego nie widzę.

BraciaRatujcie: Chodzi właśnie o te "szczególiki"...

BraciaRatujcie: δ = ^ε_2f(a) chyba załatwi sprawę ale jakoś mnie to nie przekonuje jak znajdziesz chwilę to rozpisz to po swojemu (dokładnie) − bez spiny, może być w weekend lub nawet za miesiąc [robię to dla "wiedzy"]

BraciaRatujcie: Źle się wyświetla... delta = epsilon / 2f(a) Byłbym wdzięczny za szczegółowe rozpisanie

b.: ale trzeba by jeszcze dobrać a... no ok, zobaczmy, niech |x−y|<a≤1/2, sa możliwe 2 przypadki: a) x,y < 2a. Wtedy |f(x)−(y)|<2f(a)≤2√2a, czyli tutaj wystarczy wziąć a=min{ε²/8, 1/2} i takie a ustalmy. b) x,y≥a. Teraz załóżmy dodatkowo, że |x−y|<δ (ustalona później) i policzmy jak vaultboy... dostaniemy pewien warunek na δ biorąc δ' = min{δ,a} dostajemy co trzeba

b.: aj jednak zamiast 1/2 mogło być 1, zmieniłem w ostatniej chwili, no ale 1/2 też ok