równość Archy: wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (k,n) spełniających równość kn+k=n³−n²−1

ICSP: k(n+1) = n³ − n² − 1 Widzimy, ze n = −1 nie spełnia powyższej równości. Dla n ≠ − 1 mamy :

	n3 − n2 − 1
k =
	n + 1

Czy dalej będziesz miał problemy ?

Archy: tak, bo doszedłem właśnie do tego momentu

Archy: n³−n²−1:n+1=n²−2n+2 reszta −3

ICSP: i nie piszesz takiej ważnej informacji ?

n3 − n2 − 1		n3 + n2 − 2n2 − 2n + 2n + 2 − 3
	=		=
n + 1		n + 1

	−3
= n2 − 2n + 2 +
	n + 1

czyli mamy:

	−3
k = n2 − 2n + 2 +
	n + 1

czyli

	−3
k − n2 + 2n − 2 =
	n+1

liczba po lewej stronie jest całkowita, zatem liczba po prawej stronie również musi być całkowita. Czy dalej będziesz miał problemy ?

Archy:

	−3
myślę że nie tylko nie rozumiem tego:		wiem że to jest ta reszta ale nie wiem
	n+1

dlaczego to tak zapisałeś

ICSP:

	−3
konkretniej poproszę. Nie wiesz skąd się wzięło
	n + 1

Archy: wiem skąd się wzięło −3 tylko nie wiem dlaczego to jest tak zapisane U(−3)(n+1)

ICSP: więc wróćmy do równania

	n3 − n2 − 1
k =
	n + 1

Podzieliłeś wielomian n³ − n² − 1 przez wielomian n + 1 i otrzymałeś wynik n² − 2n + 2 oraz resztę −3. Zatem z twierdzenia o dzieleniu z resztą w wersji dla wielomianów twój wielomian można zapisać w postaci : n³ − n² − 1 = (n + 1)(n² − 2n + 2) − 3

	n3 − n2 − 1
ale my w równaniu mamy wyrażenie		. wiec, aby je otrzymać podzielę
	n + 1

powyższą równość przez (n+1) dostając :

n3 − n2 − 1		(n+1)(n2 − 2n + 2)		−3
	=		+		.
n + 1		n + 1		n + 1

i po uproszczeniu (n+1) w pierwszym ułamku dostajemy równanie :

	−3
k = n2 − 2n + 2 +
	n + 1

Archy: ahaa rozumiem wielkie dzięki