g msp: wykaż że dla każdej naturalnej n liczba n⁵−n jest podzielna przez 30 udało mi się doprowadzić do postaci (n−1)n(n+1)(n²+1) i teraz (n−1)n(n+1) jest podzielne przez 6 i nie wiem jak wykazać że jest także podzielne przez 5

ICSP: wcale nie musi być podzielne przez 5 Podzielność przez 5 całego wyrażenia n⁵ − n wynika z małego twierdzenia Fermata.

msp: no tak tylko ja potrzebuje to pokazać raczej nie za pomocą twierdzenia

ICSP: a co Ci się w tym twierdzeniu nie podoba ? (n−1)n(n+1)(n² + 1) = (n−1)n(n+1)(n² − 4 + 5) = = (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) + 5(n−1)n(n+1)

Marek216: msp a jaki to poziom szkoła średnia ? Widziałem kiedyś podobne zadanie trzeba było kombinować z tym n² +1

Kacper: Można na podstawie tego już wnioskować (n−1)n(n+1)(n²+1) − badamy reszty z dzielenia przez 5

Marek216: Raczej chodzi o końcowy wynik ICSP. Nie trzeba znać specjalnych twierdzeń żeby doprowadzić do tej postaci.

msp: no nie podoba mi się w nim jedna rzecz... nie znam go wiec na maturze go nie zastosuje

msp: mam jeszcze jedno pytanie a mianowicie jesli zakładam że liczba n jest nieparzysta to muszę zapisać ją w takiej postaci aby po podłożeniu liczby całkowitej móc otrzymać każdą liczbę nieparzystą prawda?

msp: jeśli tak się nie da to robię 2 opcje tak?

Marek216: W jakieść książce z operonu było to zadanie na poziomie rozszerzonym, czasami jest jakieś zadanie które trzeba robić na wyczucie. Jak masz iloczyn 3 kolejnych liczb to wiadomo, że trzeba coś pokombinować z tym ostatnim nawiasem.

Kacper: np k=2n+1, dla n∊{0,1,2,3,...} k daje nam każdą liczbę naturalną nieparzystą.

msp: akurat to zadanie znalazłem w jakiejś starej Kiełbasie z 2010

Marek216: Wzór na liczbę parzystą to k=2n a nieparzysta k=2n +1 kolejne liczby jak chcesz to dodajesz po 2

msp: ale robię tak k=4n+1 to muszę też sprawdzić dla 4n+3

Marek216: A dlaczego dałeś tam 4 ? Ten wzór nie wyrazi ciągu kolejnych liczb nieparzystych ?

msp: dlatego, żeby łatwiej było sprawdzić podzielność przez 8

Marek216: Daj polecenie do tego przykładu.

Marek216: Liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2 to tym bardziej przez 8 nie rozumiem o co ci chodzi daj polecenie.

msp: no np. k jest nieparzyste wykaż podzielność k²−1 przez 8 dla k>3

Marek216: liczba nieparzysta nigdy nie będzie podzielna przez 8 . Wzór k=2n +1 to ciąg liczb niepodzielnych przez 2> A jak coś jest niepodzielne przez 2 to przez osiem tez nie może być podzielne. Sam wymysliłeś ten przykład ?

msp: ale nie mam obliczyć podzielności k przez 8 tylko wyrażenia k²−1 dla k>3

Benny: Przecież ICSP rozwiązał już ten przykład nie wiem co Ci się dalej nie podoba (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) + 5(n−1)n(n+1) pierwszy człon dzieli się przez 30, ponieważ jest to 5 kolejnych liczb naturalnych, więc jedna z nich na pewno dzieli się przez 2,3,5 drugi człon trzy kolejne liczby naturalne dzielą się przez 6, pomnożone przez 5 dzieli się przez 30

ICSP: skoro k jest nieparzyste to (k−1) i (k+1) są dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi parzystymi. Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych zawsze znajdzie się liczba podzielna przez 2 i liczba podzielna przez 4, zatem ich iloczyn jest podzielny przez 8. □

msp: no tak ale czy mogę to zrobić tak że k=4n+1 lub 4k+3 i teraz to pokazywać?

ICSP: możesz

msp: czyli chodzi po prostu o to żeby zawrzeć wszystkie możliwe opcje podane w zadaniu i dla każdej sprawdzić?

Marek216: Dla tego polecenia które teraz napisał trzeba tak jak ICSP mówi i trzeba jeszcze przypomnieć o tym warunku k>3 b nie dla każdego k jesczba ta bd podzielna przez 8. A moje wypowiedzi pisałem na podstawie tego co wynikało ze wcześniejszekgo wpisu − że trzeba było udowodnić podzielność liczby nieparzystej przez 8. Dlatego warto napisać konkretny problem(polecenie) a nie takie urywki.