Wykaż, że Mell:

	x2 + y2
Wykaż, że jeśli 0<y<x oraz xy=1, to		≥2√2
	x−y

Marek216: W takich zadaniach zawsze praktycznie zawsze trzeba szukać równania kwadratowego i ewentualnie warunków z polecenia. Skoro x większe od y i są wieksze osobno od zera to możesz przemnożyć nierówność przez nie. Lub do wspólnego mianownika wszystko.

Mell: wyszło mi x⁴ − 2√2x³ + 2√2x +1 ≥ 0 ale nie mogę tego rozwiązać

Marek216: Popatrzę na to za do 20 min.

Marek216: Chwilowo nie mam czasu.

Mell: ktoś pomoże?

PW: Dobrze przepisałeś polecenie? Nie widzę związku z tym co"wyszło" o 10:48.

Eta: 0<y<x i xy=1 [(x−y)−√2]²≥0 x²+y²−2xy−2√2(x−y)+2≥0 x²+y²−2−2√2(x−y)+2≥0 x²+y²≥2√2(x−y) /:(x−y)>0

x2+y2
	≥2√2
x−y

c.n.w.

PW:

x2+y2		(x−y)2 + 2xy		(x−y)2 + 2
	=		= (po skorzystaniu z założenia) =		=
x−y		x−y		x−y

	2
= x−y +		.
	x−y

Podstawiamy x−y = t > 0 (z zalożenia) i badamy funkcję

	2
t +		, t∊(0,∞),
	t

w tym sensie, że szukamy odpowiedzi na pytanie − dla jakich wartości parametru k jest (1) t + U{2}{t] ≥ k, k > 0, t > 0 czyli rozwiązujemy równoważną jej nierówność (2) t² − kt + 2 ≥ 0, k > 0, t >0. Δ = k² − 8. Widać, że Δ = 0 dla k = 2√2. Pokazaliśmy, że nierówność (1) jest spełniona dla wszystkich t, gdy k = 2√2, co oznacza, że nierówność

	2
t2 +		≥ 2√2
	t

jest spełniona dla wszystkich t>0, w szczególności dla t = x−y, co kończy dowód.

PW: Jak zwykle skomplikowałem sprawę, ale może to i dobrze, że nie widziałem rozwiązania Ety, w ten sposób masz dwie wersje.

Eta: No i ok PW nieco krócej( bo ja jestem leniwa na takie długie rozpisywania jak Podał PW:

	2
x−y+		z założenia (x−y)>0
	x−y

i teraz z nierówności między średnimi : am−gm

2   x−y+   x−y		2		2
	≥√(x−y)*		=√2 ⇒x−y+		≥2√2
2		x−y		x−y

PW: A to mnie dobiłaś. Zawsze sobie muszę skomplikować ponad miarę.

Eta: .......... i żyj 100 lat

Metis: 125

Eta: Za długo by brał dodatkową emeryturę 3000 zł Państwo by zbankrutowało

Metis: ... i tak zbankrutuje