Wykaż Cara: Wykaż, że jeśli 0<x<¹₂, to 2x+¹_x(kwadrat) >5 to nawet widać, ale jak obliczam to mi wychodzi sprzeczność

PW: Z nierówności

	1
(1) 0 < x <
	2

wynika

	1
x2 <
	4

(dla liczb dodatnich spełniających nierówność podnoszenie stronami do kwadratu daje zdanie prawdziwe). Wobec tego między odwrotnościami tych dodatnich liczb zachodzą nierówności przeciwne:

	1
(2)		> 4;
	x2

Jednocześnie z (1) wynika (3) 2x < 1. Rzeczywiście w taki prosty sposób nie da się pokazać, nierówności (2) i (3) stosowane razem nie pozwalają wywnioskować nic więcej niż (2), choć intuicja podpowiada coś innego (ale do diabła z intuicją, to starsza siostra błędu). Zadanie rozwiążemy bez trudu stosując rachunek różniczkowy do równoważnej postaci

	1
2x3 − 5x2 + 1 > 0, x∊(0,		).
	2

	1
Niech f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, widzimy że f(0) = 1 i f(		) = 0. Zachowanie funkcji f na
	2

	1
przedziale (0,		) określa znak pochodnej. Łatwo się przekonać, że f'(x) < 0 dla x∊(0,
	2

	1		1
		), co kończy dowód. Warto podeprzeć ilustracją: f(0) = 1, f(		) = 0 i funkcja
	2		2

	1
maleje, na całym przedziale (0.		) jest zatem dodatnia.
	2

Cara: dziękuję