. Dark1: Trudne zadanie wielomiany. Reszta z dzielenia wielomianu P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + 1 przez dwumian (x− 3) jest równa 1. Wykaż, że jeżeli liczby a,b,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P (x) nie ma pierwiastków wymiernych

Metis: Mamy wielomian P(x) = x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx +1 Dzielenie wielomianu P przez x−3 daje jakiś wielomian W i resztę 1 , to możemy zapisać to tak: P(x)=W(x)(x−3)+1 Podstawiam x=3 I otrzymuję: P(3)=1 Stąd: 3⁵+3⁴a+3³b+3²c+3d +1=1 Teraz jeżeli mamy pokazać, że jeżeli liczby a,b,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P (x) nie ma pierwiastków wymiernych, musimy odwołać się do twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu. I dalej nie mam pomysłu jak skończyć Może ktoś dokończy

Eta: Poprawnie myślisz więc czemu nie kontynuujesz pierwiastkami wymiernymi , jeżeli są szukasz wśród podzielników wyrazu wolnego w tym przykładzie mogą nimi być x= −1 v x=1 P(1) = 1+a+b+c+d+1=0 dodając stronami P(3)+P(1)=1 otrzymasz: (3⁵+1)+(3⁴+1)a+(3³+1)b+(3²+1)c+(3+1)d+2=1 lewa strona parzysta , a prawa nie , czyli sprzeczność podobnie z P(−1) ........................... dokończ sam wniosek ..........

Dark1: Dziękuję

Dark1: (3⁵+1)+(3⁴+1)a+(3³+1)b+(3²+1)c+(3+1)d+2=1 Doszedłem do tego momentu i kaplica.

Eta: Jaka "kaplica"? ( kaplice są w kościele P(−1)=−1+a−b+c−d+1=0 P(3)+P(−1)=1 ⇒ (3⁵−1)+(3⁴+1)a+(3³−1)b+(3²+1)c+(3−1)d+2=1 dopisz uzasadnienie ......... wniosek ............

===: ... to samo ... i nie to samo. Pierwiastków wymiernych ... to nie to samo co całkowitych. Ale uwzględnisz to w uzasadnieniu −

Eta: