dsf trebacz: Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij prawdziwość następujących zależności dla dowolnej liczby naturalnej n. 30| n⁵ − n 1. n = 1 n⁵ − m = 0 2. n = k, k≥0 k⁵ − l = ? 3. n = k + 1 (k + 1)⁵ − (k + 1) = ? W taki sposób to się rozwiązuje ? tylko nie wiem co po znaku = ma być

Saizou : zapis 30|n⁵−n oznacza że 30 dzieli n⁵−n , a to oznacza że n⁵−n=30p gdzie p∊Z, zatem −dla n=1 mamy 1⁵−1=0 30|0 jest ok −zakładamy prawdziwość dla pewnego n tzn. istnieje p∊Z takie że n⁵−n=30p −pokażemy że również prawdzie jest stwierdzenie (n+1)⁵−(n+1)=30l gdzie l∊Z (n+1)⁵−(n+1)=... i kombinuj

trebacz: 1. n = 1 n⁵ − n = 0 2. n = k k⁵ − k = 30p 3. n = k + 1 (k + 1)⁵ − (k + 1) = 30p takie zapisy są dobre ?

Saizou : tak, ale w tym 3. nie może być p, bo użyłeś je w 2. i dopisz co to za p

trebacz: 1. n = 1 n⁵ − n = 0 2. n = k k⁵ − k = 30p, p∊N 3. n = k + 1 (k + 1)⁵ − (k + 1) = 30m, m∊N Nie mam pojęcia jak to przekształcać.

trebacz: możesz pomóc ?

Saizou : (k+1)⁵−(k+1)=(k+1)((k+1)⁴−1)=(k+1)[{(k+1)²−1}{(k+1)²+1}]= (k+1)(k+1−1)(k+1+1)(k²+2k+2)=k(k+1)(k+2)(k²+2k+2)= k⁵+5k⁴+10k³+10k²+4k= (potrzebujemy wyrażenia k⁵−n) (k⁵−k)+5k⁴+10k³+10k²+5k= wyrażenie w (k⁵−k) jest już podzielne przez 30 z założeń 30p+5k(k³+1)+10k²(k+1)= 30p+5k(k+1)(k²+k+1)+10k²(k+1)= 30p+5k(k+1)(k²+k+1+2k)= 30p+5k(k+1)(k²+3k+1) wystarczy pokazać że 5k(k+1)(k²+3k+1) jest podzielne przez 30

trebacz: zupełnie tego nie ogarniam co tu napisałeś, sam tego chyba nigdy nie rozwiąże

Saizou : tę podzielność akurat łatwiej pokazać bez indukcji a i jeszcze jest bład w 3 linijce od końca 30p+5k(k+1)(k²[N−]]k+1)+10k²(k+1)= 30p+5k(k+1)[k²−k+1+2k]= 30p+5k(k+1)(k²−k+1) i wystarczy pokazac że 5k(k+1)(k²−k+1) jest podzielne przez 30

Saizou : trebacz jesteś studentem ?

trebacz: tak , czemu pytasz ? Nigdy nie byłem dobry z matmy, muszę to indukcją udowodnić

Saizou : tak z ciekawości, a co studiujesz ?

trebacz: informatyka, z matmą mam tylko problemy