Równanie z pierwiastkiem
nata: Jak to obliczyć:
√x+3 > 9−x
2 kwi 08:24
nata: dziedzina:
x >= −3
2 kwi 08:25
nata: wtedy prawa strona do wartości x=9 jest dodatnia i podnoszę obie strony do kwadratu,
wyszło mi rozwiązanie x ∊ (6; 9>
a co dalej jak x>9 i prawa strona jest ujemna ?
2 kwi 08:30
kix: czyli x∊(6;+∞) bo √x+3 jest funkcją rosnącą a 9−x malejącą. Dla x=6 wykresy przecinają się
2 kwi 09:01
nata: no tak dzięki
2 kwi 11:59
nata: proszę o sprawdzenie:
√x−2 < 8−x
df: x≥2
x−2 < 64−16x+x2
x2−17x+66 > 0
x1=6 x2=11
odp. x ∊ <2;6) a od (11;∞) już nie bo prawa strona jest zawsze mniejsza w tym przedziale.
2 kwi 12:11
PW: Brakuje mi stwierdzenia, że:
1° dla x > 8 rozwiązań nie ma, bo prawa strona badanej nierówności jest ujemna, a lewa
nieujemna
2° wobec powyższego szukamy rozwiązań tylko dla x należących do dziedziny i jednocześnie x ≤ 8,
czyli dla x∊<2, 8>;
3° dla takich x badana nierówność jest równoważna nierówności otrzymanej w wyniku podniesienia
obu stron do kwadratu:
x − 2 < x2 − 16 x + 64, x∊<2, 8>.
Rozwiązaniami nierówności
x2 − 17x + 66 > 0, x∊<2, 8>
są
x∊<2, 6>.
Zilustrować to wykresem, unikać niejasnych stwierdzeń w rodzaju " a od (11;∞) już nie bo prawa
strona jest zawsze mniejsza w tym przedziale", bo nie wiadomo co o tym sądzić −
jaka prawa strona?
Nie dostałabyś pełnej liczby punktów za to rozwiązanie. Dopóki nie pojawi się przedział <2, 8>,
nie wolno podnosić nierówności stronami do kwadratu − z tej przyczyny, że nie wiemy nic o
znaku prawej strony. Podnosić stronami do kwadratu można tylko wtedy, gdy wiemy, że obie
strony są nieujemne. W przeciwnym wypadku możemy "wprowadzić obce rozwiązania". Przykład:
x2 < −7
− rozwiązań nie ma. Gdy podniesiemy stronami do kwadratu:
x4 < 49
− rozwiązania są.
2 kwi 12:39
pigor: ..., x=6 trzeba "wyrzucić" − nie spełnia danej nierówności,
która jest
ostra √x−2 < 8−x, a dla x=6 mamy
√6−2 = 8−6 . ...
2 kwi 12:57
PW: Dobrze że czuwasz, chwila nieuwagi i ... bęc. A nata pisała dobrze ten przedział, mogłem
skopiować ...
2 kwi 13:04
pigor: ,,, bo sam mam na takie nierówności sposób taki np. :
√x−2 < 8−x / + x−2 i x−2 ≥0 i 8−x ≥ 0 ⇒
⇒ (
√x−2)
2+
√x−2−6 < 0 i 2≤ x ≤ 8, itd. nierówność kwadr.
2 kwi 13:31
PW: O licho, mądry sposób, można się od Ciebie wiele nauczyć.
2 kwi 14:11
nata: Dzięki
teraz lepiej to rozumiem, ale nie jestem jeszcze pewna, czy z każdym przykładem dam
sobie radę
Pigor nie bardzo wiem co zrobiłeś. mógłbyś to wyjaśnić, please
2 kwi 16:55
pigor: ... , cóż, ja robię często ...
"pod tych" co chcą wyjść poza
szkolne schematy i myślą poważnie o studiach, gdzie matma wiadomo...,
dlatego powiem tak :
zrobiłem to co widzisz, nie znaczy, że jest to jakiś ogólny sposób
choć akurat tu pierwszy swój przykład możesz analogicznie np. tak :
√x+3 > 9−x /+x+3 i x+3 ≥0 ⇔ x+3+
√x+3 >12 i (*)
x ≥ −3 ⇒
⇒ (
√x+3)
2+
√x+3−12 > 0 i (**)
√x+3=t ≥0 ⇒ t
2+t−12 > 0 ⇔
⇔ (t+4)(t−3) >0 stad i z (**) ⇔ t−3 > 0 ⇔ t >3 i
√x+3 >3 ⇒
⇒ x+3 >9 ⇔
x >6 ⇔
x∊(6 ;+∞) . ...
2 kwi 17:32
nata: rozumiem że do obu stron nierówności dodałeś x+3 które jest ≥0 ale w jaki sposób z równania
x+3+
√x+3 >12 otrzymałeś (
√x+3)
2+
√x+3−12 > 0 − tego nie rozumiem
2 kwi 19:29
nata: pytanie do PW:
czy w punkcie 2o nie powinno być x<8 czyli x ∊ <2;8)
bo dla x=8 √x−2 musiałby być <0 a to jest niemożliwe − brak rozwiązania
Czy mam rację, bo wcale nie jestem tego pewna
2 kwi 20:06
5-latek:
Aby podnieść stronami nierownosc do kwadratu obie strony nierownosci musza być nieujemne czyli
wiekszse bądź rowne 0 czyli ≥0
Pierwiastek algebraiczny z 0 istnieje bo
√0=0
Pomimo tego ze wyznaczysz dziedzine nierownosci należy sprawdzić rozwiązania
Tutaj masz x−2≥0 to x≥2 i 8−x≥0 to −x≥−8 to x≤8
2 kwi 20:30
nata: ok dzięki
2 kwi 20:37