rachunek bezendu: Ile podzbiorów ma zbiór n−elementowy ? odpowiedź 2ⁿ ale mając zbiór A={1,2,3} coś mi się nie zgadza (1,2) (1,3) (2,3) (2,1) (3,2) (3,1) 6 elementów a powinno być 8

bezendu: I proszę o "wskazówkę" z czego to udowodnić ?

kyrtap: {1,2,3} i jeszcze zbiór pusty

bezendu: Nie właśnie bo wtedy mam 10 elementów a nie 8

Frost: Zależy czy dzielisz na niepuste podzbiory czy nie

kyrtap: w zasadzie {1} , {2} , {3} to też są podzbiory jednoelementowe

bezendu: Nie, już wiem zbiór (1,3) i (3,1) to to samo itp więc teraz będzie się zgadać.Tylko jeszcze dowód

Janek191: { 1 , 2} = { 2, 1} Brak podzbiorów jednoelementowych

kyrtap: {1,2} , {1,3}, {2,3} ,zbiór pusty, {1,2,3} , {1}, {2},{3}

kyrtap: {1,2 } a {2,1} to zdaję mi się że ten sam podzbiór

Mila: A={1,2,3} Podzbiory: Φ, {1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3} {1,2,3}

bezendu: Janek czyli jeszcze zbiór pusty i {2,1} a nie biorę pod uwagę nigdy podzbiorów jednoelemntowych ? Dwa jak to udowodnić, rzuć tylko myśl, nie pisz gotowca

bezendu: Mila to w końcu która wersja jest poprawna ?

Frost: Obie są takie same

Janek191: Napisałem, że brak Ci podzbiorów jednoelementowych, a nie, ze nie bierzemy

Tadeusz: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, i pusty

bezendu: a teraz dowód z wzoru Newtona ?

prosta: WITAM jak udowodnić? zapisać sumę podzbiorów 0−elementowych, 1−elementowych, 2−elementowych, .... n−1 elementowych oraz n−elementowych (suma odpowiednich symboli Newtona) i pomyślec o dwumianie Newtona

bezendu:

n 0		n 1		n 2		n n
	+		+		+.....

Mila:

n 0
	podzbior pusty

n 1
	− liczba podzbiorów jednoelementowych

n 2
	−liczba podzbiorów dwuelementowych

... . .

n n−1

n n

Suma podzbiorów:

n 0		n 1		n 2		n n−1		n n
	+		+		+...+		+		=(1+1)n=2n

Lewa strona jest rozwinięciem dwumianu Newtona (a+b)², gdzie a=1 i b=1.

PW: Wybierając pewne elementy do tworzonego podzbioru możemy im nadać etykietę "1" (są wybrane), a pozostałym elementom nadać etykietę "0" (nie zostały wybrane). W ten sposoób każde utworzenie podzbioru można utożsamić z funkcją f: {1, 2, 3, ..., n} → {0, 1}. W szczególności funkcja przyjmująca tylko wartości 0 jest odpowiednikiem zbioru pustego, a funkcja przyjmująca tylko wartości 1 jest odpowiednikiem całego zbioru n−elementowego. Powołać się na twierdzenie o liczbie takich funkcji, która jest równa 2ⁿ. Trzeba tylko sprawdzić, czy dowód tego twierdzenia nie korzysta z twierdzenia o liczbie podzbiorów. Jak na moją pamięć, to nie − raczej dowód jest indukcyjny.

bezendu: Dziękuję, zrozumiałem już

bezendu: Mam dwie kostki do gry, ile jest możliwości, że wypadnie co najmniej 1 szóstka 12 czy 11 ? Nie wiem czy kostki są rozróżnialne czy nie.

52: 11 jak dla mnie

bezendu: kwestia sporna

bezendu: bo skoro (6,1) to inne zdarzenie niż (1,6) to tak samo (6,6) (6, 6)

Qulka:

bezendu: Hmm ? Ale nie ma mowy, że kostki są nierozróżnialne ? Kolejność ma znaczenie więc nie można sobie przyjąć jednego zdarzenia (6,6) a może się mylę ?

Qulka: w dół to pierwsza kostka w bok druga (są rozróżnialne)

Jacek: To że mamy zbiór {1,2} i {6,6}, to nie znaczy, że potem możemy z tych zbiorów utworzyć tę samą ilość wariacji. Tak to nie działa przy wariacjach z powtórzeniami.

bezendu: Qulka to ile Ci wyszło ?

Jacek: Mamy (1₁,6₂) (6₁,1₂) oraz (6₁,6₂) − indeksy to numeracja kostek, rozróżnienie rzutów itp, ale zawsze z tą samą kolejnością co do indeksów

Qulka: tak ciężko Ci policzyć kropki 11

Jacek: To jest jak dwukrotny rzut monetą. Mamy wariacje (OO), (RR), (OR), (RO), ale zbiory {O,R}, {R.R}. {O,O}

bezendu: Policzyłem i wychodzi 11 ale czytaj co napisałem 00:31 !

Qulka: ale to to samo..jedna zielona 6 i jedna czerwona 6 w przeciwieństwie do zielonej 1 czerwonej 6 i czerwonej 1 zielonej 6 czy dla rozróżnienia używasz kolejności w zapisie czy kolorów to już obojętne

bezendu: ok i o to mi chodziło. Dobranoc.

Jacek: Posługując się kolorami to zapisałbym: (6,1) (1,6) dla mnie to nie jest przestawienie kolejności, to jest zachowanie kolejności, czyli najpierw czerwony, potem zielony, tylko że wynik, co do wartości, w czerwonym jest taki sam jak w drugiej wariacji przy zielonym.

PW: Jak to wytłumaczyć dzieciom? Przede wszystkim zaczynamy od konstrukcji modelu matematycznego. Czym jest pojedyncze zdarzenie elementarne? Na stole widzimy "rozrzucone bezładnie" dwie kostki, trudno nadać im jakąś kolejność, a więc zbiór złożony z dwóch liczb jest dobrym modelem. Żeby uniknąć dyskusji o zbiorach, w których są dwie jednakowe liczby, np. {4, 4}, przenumerujmy na chwilę liczby na jednej z kostek, np. niech zamiast 1, 2, 3, 4, 5, 6 będzie 7, 8, 8, 10, 11, 12. Teraz każdy wynik losowania jest poprawnie opisany jako zbiór złożony z dwóch liczb, np. {1,12} = {12,1} jest jednym zbiorem (kolejność zapisu nie odgrywa roli, to jest ten sam zbiór będący modelem zdarzenia elementarnego wchodzącego w skład zdarzenia "wyrzucono jedynkę i szóstkę"). Ostatecznie − modelem matematycznym pojedynczego rzutu dwiema kostkami jest zbiór złożony z dwóch liczb, przy czym jedna z nich należy do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a druga do zbioru {7, 8, 9, 10, 11, 12}. Jest oczywiste, że wszystkich zdarzeń jest 6·6 = 36. Taki sposób rozumowania odpowiada sytuacji, gdy kostki są różnych kolorów − zamiast mówić o kostce zielonej i czerwonej przenumerowaliśmy liczby na jednej z nich. Zauważmy, że wtedy zdarzenie A − "wylosowano szóstkę i jedynkę" składa się z dwóch zdarzeń elementarnych: A = { {1, 12}, {6, 7} }, natomiast zdarzenie B − "wylosowano dwie szóstki" jest jednoelementowe: B = { {6,12} }. W tym modelu odpowiedź na pytanie "Ile jest możliwości, że wypadnie co najmniej jedna szóstka" brzmi: 11, zbiór wszystkich takich zdarzeń to { {1,12}, (2, 12}, {3, 12}, ..., {6, 12}, {6, 7}, {6, 8}, {6, 9},..., {6,11} }. To są właśnie kulki tak świetnie skrótowo pokazane przez Qulkę (w jednym zbiorze 6 sztuk, w drugim też 6, dwuelementowych podzbiorów tworzonych na zasadzie "po jednej sztuce z każdego, tak żeby była co najmniej jedna szóstka" jest 11). A mały dociekliwy Jaś (w każdej klasie znajdzie się taki nieznośny) pyta: − Proszę Pana, a co będzie, gdy kostki są nierozróżnialne? Odpowiadamy mu: − Jasiu, nie marudź. Pomaluj jedną z kostek innym kolorem, ona głupia, to się nie zorientuje. Potem się zetrze.