wykaż, że... edge: Wykaż, że jeżeli a<b i a,b∊R, to a³ − a² + a < b³ − b² + b

vaultboy: wystarczy pokazać, że funkcja f(x)=x³−x²+x jest rosnąca, to będzie kończyć dowód. Liczymy pochodną f'(x)=3x²−2x+1. Δ<0 czyli f'(x) jest dla każdego x dodatnie. Skoro pochodna jest dodatnia to funkcja jest rosnąca c.k.d.

ICSP: Dla dowolnego a < b prawdziwa jest nierówność: (b − a)([a + b − 1]² + (a² + b² + 1)) > 0 Przekształcając ją dostajemy: (b − a)(a² + b² + 1 − 2a − 2b + 2ab + a² + b² + 1) > 0 (b − a)(2a² + 2ab + 2b² −2a − 2b + 2) > 0 (b − a)(a² + ab + b² − a − b + 1) > 0 (b − a)(b² + ba + b²) + (b − a)(−a − b) + (b − a) > 0 b³ − a³ − b² + a² + b − a > 0 a³ −a² + a < b³ − b² + b □

Eta: Z założenia a−b<0 Jeżeli taka nierówność zachodzi , to przekształcając ją równoważnie a³−b³−a²+b²+a−b<0 (a−b)(a²+ab+b²) −(a−b)(a+b) +(a−b)<0 (a−b)(a²+ab+b²−a−b+1)<0 /*2 (a−b)( a²+2ab+b²+a²−2a+1+b²−2b+1)<0 (a−b)[(a+b)²+(a−1)²+(b−1)²]<0 pierwszy czynnik <0 drugi >0 iloczyn <0 zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa c.n.w