Suma/granica ciągu okreslonego rekurencyjnie. bolec: Dobry wieczór, Potrzebuję instrukcji ewentualnie dokładniejszych wskazówek jak wyznaczyć sumę/granicę ciągu określonego rekurencyjnie o takim wzorze: {a(1)=1

	1
{a(n+1)=a(n)+
	(n + 1)2

Czym się kierować przy rozwiązywaniu tego typu zadań? Do tej pory liczyłem granice funkcji albo ciągów arytmetycznych i geometrycznych, a co robić przy ciągu rekurencyjnym?

vaultboy: fajnie jakbyś wyliczył a_n zauważ, że a_n+1−a₁=(a_n+1−a_n) + (a_n−a_n−1)+...+(a₂−a₁)

bolec: A co robić dalej gdy już wyznaczę wzór ogólny z tej własności?

bolec: Wyszło mi coś takiego:

	1		5
an =		+ U{ 1 } { (n−1)2 } + ... +
	n2		4

bolec:

	1		1		5
an =		+		+ ... +
	n2		(n−1)2		4

vaultboy: otrzymujesz a_n=∑1/k² , granica tego jest znana i wynosi π²/6 k=1

bolec: A gdybym miał wykazać nierówność w oparciu o ten ciąg:

	1
a10000 < 2 −
	10001

To robić to w oparciu o nieskończony szereg, czy inaczej?

vaultboy: Nie rozumiem za bardzo twojego pytania

bolec:

	1
Chodzi mi czy lepiej wykazać tą nierówność przez pokazanie, że an < 2 −		więc
	10001

tym bardziej a₁₀₀₀₀ będzie mniejsze, czy powinienem zrobić to w inny sposób

bolec: Oczywiście dla n → ∞

vaultboy: możesz wykazać to dobierając ciut (ale na prawdę ciut) większy szereg, który się teleskopuje i dostaniesz tą nierówność

bolec: To znaczy w jaki sposób?

vaultboy: 1/k²<1/k(k−1) = [k−(k−1)]/k(k−1)= 1/(k−1)−1/k Nie ma co się pluć o przypadek gdy k=1 bo tu nic się nie psuje. nasza suma częściowa szeregu ∏ⁿ₁(1/k²) jest mniejsza od 1+ ∏ⁿ₂1/(k−1)−1/k = 2−1/n

bolec: Moglbys jeszcze wyjasnic ten ostatni zapis?

	1
Skad ta jedynka w 1 + ∏n2 i to na koncu 2 −
	n