Zbiezności funkcji i szeregów Zbieżności ciągów funkcyjnych: Wzynacz obszar zbieżności ciągów i funkcję graniczną, określ czy jest zbieżny jednostajnie czy nie. Jak to zrobić, nawet etrapez już nie ratuję, proszę pomocy 1) f_n(x)=2n²xe^{−n2 x2}

	n2x
2) fn(x)=
	n3+x2

3) f_n(x)= xⁿ(1−xⁿ) I takie coś z szeregami

	1
1) ∑
	n2(1+n2+n2x2)

	sinnx
2) ∑
	3√n4+x2

Są na to jakieś schematy, jak to się robi, czy każdy inaczej, innym sposobem?

vaultboy: Są jakieś tam schematy. 3) f_n(x)=xⁿ(1−xⁿ) Zaczynam od ustalonego x i badamy granice f_n(x) przy n→∞ dla x<0 nie ma to sensu dla x>1 xⁿ i (1−xⁿ) są rozbieżne. gdy x∊<0;1) to xⁿ zbiega do 0 a 1−xⁿ zbiega do 1(pomijam fakt gdy x=0) czyli f_n zbiega do 0 gdy x=1 to dostajemy f_n(1)=0 Funkcja graniczna jest postaci f(x)=0 dla x∊<0;1> Dalej rozważamy tylko i wyłącznie x z tego przedziału Rozważamy funkcję g_n=sup |f_n(x)−f(x)|=sup|f_n(x)|=sup f_n(x), bo f(x)=0 i f_n(x)≥0 Szukamy supremum za pomocą pochodnych. f_n'(x)=nxⁿ⁻¹−2nx²ⁿ⁻¹=nxⁿ⁻¹[1−2xⁿ] nxⁿ⁻¹≥0 zatem znak pochodnej zależy od 1−2xⁿ funkcja ma ekstremum w punkcie 1−2xⁿ=0 ⇔ x=ⁿ√1/2 Łatwo sprawdzić że jest to maksimum lokalne Zatem sup f_n(x)=f_n(ⁿ√1/2) =1/4 i się sypie bo nie zbiega to do 0 przy n→∞, więc nie jest to zbieżność jednostajna.