Planimetria :)
Czajnik: Stosunek pól trzech parami stycznych zewnętrznie okregow wynosi 1:4:9, uzasadnij że srodki
tych okregow sa wierzchołkami trojkąta prostokątnego.
29 mar 13:36
Janek191:
P
1 : P
2 : P
3 = 1 : 4 : 9 ⇒ r
1 : r
2 + r
3 = 1 : 2 : 3
więc
( r
1 + r
2)
2 + ( r
1 + r
3)
2 = 3
2 + 4
2 = 9 + 16 = 25 = ( r
2 + r
3)
2
29 mar 15:18
Janek191:
r1 : r2 : r3 = 1 : 2 : 3
29 mar 15:18
Janek191:
Dokładniej powinno być:
r1 = x
r2 = 2 x
r3 = 3 x
Wtedy
( x + 2 x)2 + ( x + 3 x)2 = 9 x2 + 16 x2 = 25 x2 = ( 5 x)2 = ( 2 x + 3 x)2
29 mar 15:26
vaultboy:
Niech czerwony, zielony i pomarańczowy będą promieniami tych okręgów (oznaczmy je r
1,r
2,r
3).
Niech S
x oznacza pole koła (okrąg chyba nie ma pola
) o promieniu x.
Wtedy S
r1=π(r
1)
2, S
r2=π(r
2)
2, S
r3=π(r
3)
2.
Z założenia zachodzi π(r
1)
2:π(r
2)
2:π(r
3)
2=(r
1)
2:(r
2)
2:(r
3)
2=1:4:9=k
2:4k
2:9k
2 dla
pewnego k>0.
Czyli r
1=k, r
2=2k, r
3=3k.
Odległości środków tych okręgów wynoszą odpowiednio r
1+r
2, r
1+r
3, r
2+r
3, czyli 3k, 4k,
5k.
Z Pitagorasa mam (3k)
2+(4k)
2=25k
2=(5k)
2 c.k.d.
29 mar 15:28