Trygonometria - nierówność, dowód lol:

	1
Wykaż, że dla każdej liczby x zachodni nierówność sin8x + cos8x ≥
	8

Ma ktoś jakieś pomysły?

Damian1996: (sin⁴x+cos⁴x)²−2sin⁴xcos⁴x=((sin²x+cos²x)²−2sin²xcos²x)−2sin⁴xcos ⁴x=(1−¹₂sin²2x)²−¹₈sin⁴2x

Damian1996: Może to coś pomoże?

lol:

	1
Jak podniose do kwadratu ( 1 −		sin22x)
	2

wychodzi mi:

1		1
	sin42x − sin22x + 1 ≥
8		8

1		7
	sin42x − sin22x +		≥ 0
8		8

podstawiam sin²2x = t; t ∊ <0;1> licze deltę i wychodzi mi t1 = 2, t2 = 14 Jednak żeby to równanie miało rozwiązanie musi istnieć t ∊ <0;1>. Skoro nie istnieje (t=2 v t=14) to

1		7
	sin42x − sin22x +		= 0 nie ma rozwiązań czyli zawsze jest większe od 0.
8		8

c.k.d Dobrze rozumuje?

Damian1996: Tak

pigor: ..., z nierówności śr.kw. ≥ śr.geom. sin⁸x+cos⁸x = (sin⁴x)²+(cos⁴x)² ≥ 2sin⁴xcos⁴x = = 2⁻³ * 2⁴sin⁴xcos⁴x = ¹₈ (2sinxcosx)⁴ = = ¹₈ (sin2x)⁴ ≤ ¹₈*1⁴ = ¹₈ . ...c.n.w. ...

pigor: ... kurde oczywiście w ostatniej linijce miało być ≥ ; przepraszam i idę spać. ..

pigor: ... coś nie tak jednak bo przecież |sin2x| ≤ !

prosta:

	1
można wziąć funkcję f(t)=		t2−t+1 i pokazać,
	8

	1
że jej najmniejsza wartość na przedziale <0,1>to liczba
	8