Optymalizacja w zależności od wysokości. Bez konkretnych wymiarów. można_ściślej?: Witam, potrzebuję pomocy z pewnym zadaniem z optymalizacji. Dany jest prostopadłościan, który ma kwadrat w podstawie, i polu bocznym P. Należy znaleźć ekstremum V(H) która oznacza objętość w zależności od wysokości H. Póki co doszedłem do czegoś takiego: a − krawędź podstawy H− wysokość P− pole całkowite 2a²+4aH=P

	P−4aH
Z tego wyznaczyłem: a2=
	2

	P − 4aH
I podstawiłem do wzoru na objętość i robię z niego funkcję: V(H)=		*H
	2

	P
Obliczam pochodną: V'(H)=		−4aH
	2

Tutaj się zatrzymałem bo do tej pory nie miałem styczności z taką optymalizacją i kompletnie nie wiem jak to dalej ugryźć. Proszę o jakieś wyjaśnienie co tu dalej robić z tym fantem. Dziękuje i pozdrawiam.

prosta: P − pole boczne czy całkowite ?

prosta: H− wysokość ostrosłupa czy wysokość ściany bocznej?

PW: Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego na przedziale otwartym − pochodna przyjmuje wartość 0. Koniecznie podaj dziedzinę funkcji V wynikającą z warunków zadania. Uwaga. Nie sprawdzałem wyliczeń, porada dotyczy tylko ostatniego pytania.

prosta: wszystko pomieszane

prosta: twoja pochodna jest nadal funkcją dwóch zmiennych: a i H...

J:

	P
V'(H) =		−4a2H2 ... i teraz przyrównaj do 0
	2

J: jest funkcją tylko jednej zmiennej: H ( ekstremum poda zależność H od a )

J: teraz przeczytałem dokładniej treść .... polu bocznym : P = 4aH .. trzeba zacząć od początku

prosta: J: błąd na wstępie zadania: to pole powierzchni bocznej jest równe P i to jest jedyna dana w tym zadaniu i od niej powinno zależeć H w końcowej odpowiedzi J: skąd tak dziwnie policzona pochodna? Celowo wprowadzasz błędne wskazówki?

J:

	P
V(H) =a2*H = (		)2*H
	4H

można_ściślej?: Strasznie przepraszam, chodziło o pole całkowite. Już z automatu napisałem pole boczne po poprzednim zadaniu które robiłem

J: pochodna z postu: 18:05 była dobra, tylko H powinno być w kwadracie

można_ściślej?: P − Pole CAŁKOWITE H − Wysokość prostopadłościanu

J: no to wracamy do punktu wyjścia.. tylko popraw pochodną (H²)

J:

	1
V(H) = −2aH2 +		PH
	2

	1
V'(H) =−4aH +		P
	2

można_ściślej?: ~J Mógłbyś powiedzieć dlaczego H²?

	P−4aH		PH
Jak przemnażam to wychodzi mi coś takiego: V(H) =		* H =		− 2aH2
	2		2

	P
I jak teraz liczę pochodną to mam V'(H) =		− 4aH
	2

można_ściślej?: No to tak samo Dobra próbuje dalej według wskazówek

J: moja pomyłka ... poprawiłem

prosta: a może tak będzie dobrze? 2a²+4aH=P a²+2aH+H²=P−H² (a+H)²=P−H² a+H=√P−H²−−−−−>a=√P−H²−H −−−−−> a²=P−2H√P−H² V(H)=a²H=PH−2H²√P−H²

prosta: poprawka: a²+2aH+H²=P+H² (a+H)²=P+H² a+H=√P+H² −−> a=√P+H²−H −−> a²=P+2H√P+H²+2H² V(H)=PH+2H²√P+H²+H³

prosta: a²=P−2H√P+H²+2H² V(H)= PH−2H²√P+H²+2H³ ..teraz już dobrze i wg mnie tak powinno być ..dużo prościej jest ustalić V(a)

J: może ja już śpię ... ale skąd nagle z 2a² + 4aH = P robi się: a² + 2aH + H² = P + H² ?

można_ściślej?: Według wskazówki PW skorzystałem z koniecznego warunku, czyli: V'(H) = 0

P
	− 4aH = 0
2

P
	= 4aH |*2
2

P = 8aH

	PH
I wcześniejsze założenie:		− 2aH2 > 0 ⇒ P > 4aH
	2

Ale co dalej? Jak ustalić ekstremum kiedy mam 3 litery w pochodnej?

J:

	P
w tym zadaniu jedynie możesz pokazać,że maksymalna objętość jest wtedy, gdy: H =
	8a

prosta: tak...racja....trzeba jeszcze korektę zrobić...powinno być 2a²+4aH=P −−>a²+2aH=0,5P −−> a²+2aH+H²=0,5P+H²

prosta: w moich obliczeniach zostaje tylko H...a jeszcze lepiej najpierw policzyć a i potem H pomyślcie o tym co piszę

prosta:

	P−2a2
2a2+4aH=P −−> H=
	4a

	Pa−2a3		P−6a2
V(a)=		−−> V'(a)=
	4		4

	√6P		2√6P
V'(a)=0 gdy a=		wtedy H=
	6		3

mam nadzieję, że obliczenia są dobre

można_ściślej?: ~prosta Ale z poleceniu chodziło o znalezienie pochodnej i ekstremum funkcji V(H), a nie V(a) właśnie na tym problem polega

prosta:

	√6P
a jednak ...H=
	6

więc to sześcian

prosta: ale można się sprawdzić i znać chociaż prawidłowy wynik

można_ściślej?: Wydaje mi się że tam jest błąd przy liczeniu a.

	P
V'(a) = 0 ⇔ P − 6a2 = 0 ⇒ 6a2 = P czyli a = √
	6

A wtedy zawsze H = 1. Z tego wychodzi, że musi mieć jak największe pole podstawy, przy stałej wysokości równej 1.

prosta: zazwyczaj należy ustalić wymiary bryły o największej(najmniejszej) objętości i nie narzuca się w treści zmiennej dla funkcji....

prosta: wasze ustalenia wzoru nie są poprawne....bo w określeniu V(H) nie może występować "a" ....ożna badać ewentualnie funkcję dwóch zmiennych...i liczyć pochodne cząstkowe

prosta: moje obliczenia są przy oznaczeniu :2P−pole powierzchni całkowitej

można_ściślej?: "Znaleźć ekstremum funkcji y=f(x), gdzie f(x) oznacza zależność objętości prostopadłościanu od długości x krawędzi prostopadłej do podstawy(wysokość H). To najwyraźniej bardzo nietypowe to zadanie W takich zadaniach chyba zawsze największą objętość mają sześciany jeszcze nie spotkałem się zadaniem aby było to coś innego.

prosta:

	P		√P		√6P
przecież a=√		=		=
	6		√6		6

można_ściślej?: Faktycznie zgadza się, coś musiałem pokręcić przy podstawianiu.

	P√6P
Czyli wychodzi że objętość musi być równa:
	36

Ale dalej jestem ciekaw jak dojść do rozwiązania tak jak chcą w poleceniu. Bo tam u góry widziałem, że wyliczałeś tak że było samo P i H, ale jak potem pochodną z pierwiastka liczyć?

prosta:

	2H
(√P+H2)'=
	2 √P+H2

tam obliczenia komplikują się ....

można_ściślej?: Właśnie widzę, komplikują to bardzo delikatnie powiedziane

można_ściślej?: Coś tam poprzekształcałem i wyszło mi coś takiego:

	−H3 − aH2 + a2
V'(H)=
	a + H

Przy warunku, że V'(H) = 0 −H³ − aH² + a² = 0 Załóżmy, że pochodna jest dobrze policzona, bo nie mam pewności Jakieś pomysły co dalej? Pozostaje jeszcze to a przez które nie można narysować wykresu

można_ściślej?: Chyba jednak dam sobie z tym zadaniem spokój, bo wyznaczenie ekstremum tej funkcji graniczy z cudem. Dziękuję wszystkim za pomoc.

prosta: jaka to książka?