zadanie Prezesik: dowód(do sprawdzenia) Udowodnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie może być kwadratem liczby naturalnej n∊N k∊N trzy kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2 kwadrat liczby naturalnej − k² n² + (n+1)² + (n+2)² = 3x² + 6x + 5 Δ= 36 − 4*5*3 = −24 Δ<0 − z tego wynika, że nie będzie to kwadrat liczby naturalnej można tak to zrobić?

5-latek: A czemu z n zrobiles nagle x?

PW: Albo n, albo x. Licząc Δ pokazałeś, że wyrażenie to nie przyjmuje wartości 0, a to żadna rewelacja − suma trzech kwadratów na pewno nie jest zerem.

Metis: Poza tym skoro n to liczba naturalna, to jej kwadrat = n²

Prezesik: to dopiero przy przepisywaniu tutaj zamieniłem n na x, nie wiem czemu... to jak to udowodnić ?

PW: (n−1)² + n² + (n+1)² = 3n² + 2 − też 3 kolejne, ale o wiele łatwiej teraz o tym mówić.

Prezesik: (3n² + 2)² = 9n⁴ + 12n² + 4 delte z tego teraz czy co?

PW: Ale dlaczego podnosisz tę liczbę do kwadratu? mas wykazać, że nie jest ona kwadratem, to znaczy ze rowność (1) 3n² + 2 = k² jest niemożliwa dla k∊N. Ponieważ funkcja kwadratowa jest rosnąca dla dodatnich argumentów, proponuję zauważyć, że dla n>1 n² < 3n² + 2 < (2n)², gdyby więc równość (1) miała miejsce, to musiałoby być (20 3n² + 2 = (n+p)², p < n, p∊N. Mówiąc po ludzku − liczba ta musiałaby być kwadratem liczby leżącej między n a 2n (dlatego piszemy p < n). Spróbuj pokazac, że równość (2) jest niemożliwa − może nareszcie przyda się ta upragniona Δ.

PW: Poprawka. (2), a nie (20 − w 4. wierszu od dołu.

Prezesik: 3n² + 2 nie ma miejsc zerowych, więc nie może się równać (n+p)² ?

PW: A się upierasz. Miejsca zerowe nie mają tu nic wspólnego z treścią zadania. Rozwiąż równanie (2) z niewiadomą n i parametrem p.

Prezesik: dwie niewiadome to nie powinien być układ równań? 3n² + 2 = n² + 2np + p² 2n² + 2 = p² + 2np 2(n² + 1) = p(p + 2n)

Prezesik: Nie ogarniam jeszcze tych dowodów...

Prezesik: ktoś pomoże?

Prezesik: haloo?

Prezesik: wytlumaczy mi to ktos do konca ?