Wykaż, że równanie ma dwa pierwiastki podwójne Patryk: Wykaż, że równanie (x² − x + 1)⁴ − 10x²(x² − x + 1)² + 9x⁴ = 0 ma dwa pierwiastki podwójne.Proszę o wytłumaczenie.

Patryk: (x² − x + 1)⁴ − x² (x² − x + 1)² − 9x² (x² − x + 1)² + 9x⁴ (x² − x + 1)²[(x² − x + 1)² − x²] − 9x²[(x² − x + 1)² − x²] [(x² − x + 1)² − x²] [(x² − x + 1)² − 9x²] Dobrze rozumuje? Pomoże ktokolwiek?

PW: a⁴ − 10x²a² + 9x⁴ = (a²)² − 10a²x² + 25x⁴ − 16x⁴ = (a²−5x²)² − (4x²)² = (a²−5x²−4x²)(a²−5x²+4x²) = (a²−9x²)(a²−x²) = (a−3x)(a+3x)(a−x)(a+x), co po podstawieniu a = x²−x+1 daje (x²−4x+1)(x²+2x+1)(x²−2x+1)(x²+1) = (x²−4x+1)(x+1)²(x−1)²(x²+1). Pierwiastki podwójne widać − są nimi 1 oraz −1 (co nie oznacza, że są to jedyne pierwiastki rzeczywiste tego wielomianu, pierwszy czynnik ma dwa różne pierwiastki).

Patryk: A jakaś wersja dla mniej rozumnych? krok po kroku. Byłbym wdzięczny.

PW: To jest krok po kroku − po prostu nie chciało mi się przepisywać ciągle (x²−x+1) i oznaczyłem to dla krótkości jako a. Wszystko polega na wzorach skróconego mnożenia − jedyna "sztuczka" to zauważyć, że 9x⁴ = 25x⁴ − 16x⁴.

Patryk: dobra dzięki