algebra
Wiki: Proszę o pomoc w rozwiązaniu : Oblicz : a4+b4+c4, jesli a+b+c=0 oraz a2+b2+c2=m
28 mar 15:14
Wiki: nikt nie ma pomysłu
28 mar 15:35
Damian1996: Skoro a+b+c=0 i a2+b2+c2=m, to
(a+b+c)2=0 oraz (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
Mamy więc m+2(ab+bc+ca)=0, czyli ab+bc+ca=−m2
a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2−2(a2b2+b2c2+c2a2)=(a2+b2+c2)2−2[(ab+ ac+ bc)2−2(a2bc +
ab2c + abc2)]=(a2 + b2 + c2)2 − 2[(ab + ac + bc)2 − 2abc(a + b + c)]
=m2−2[(−m2)2−2abc*0=m2−m22=m22
28 mar 15:47
PW: 0 = (a+b+c)
2 = a
2+b
2+c
2 + 2(ab+ac+bc), stąd a
2+b
2+c
2 = − 2(ab+ac+bc), a po podniesieniu
stronami do kwadratu
(a
2+b
2+c
2)
2 = 4(ab+ac+bc)
2
i po skorzystaniu z drugiego warunku założenia
m
2 = 4(ab+ac+bc)
2
m
2 = 4(a
2b
2+a
2c
2+b
2c
2 +2(abac+abbc+acbc))
m
2 = 4(a
2b
2+a
2c
2+b
2c
2 +2abc(
a+b+c)),
a więc po skorzystaniu z pierwszego warunku założenia
m
2 = 4(a
2b
2+a
2c
2+b
2c
2)
| | m2 | |
(1) (a2b2+a2c2+b2c2) = |
| . |
| | 4 | |
Jednocześnie
(a
2+b
2+c
2)
2 = m
2,
zatem
a
4+b
4+c
4 + 2(a
2b
2+a
2c
2+b
2c
2) = m
2,
czyli
(2) a
4+b
4+c
4 = m
2 − 2(a
2b
2+a
2c
2+b
2c
2).
Podstawienie (1) do (2) daje odpowiedź.
28 mar 16:15
PW: O, niepotrzebnie się produkuję, bo nie odświeżyłem w porę
28 mar 16:17