Monotoniczność ciągów sedrtyuh: Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (a_n), jeśli: a₁ = 3 a_n+1 = a_n − 2 dla n ≥ 1 To potrafiłam rozwiązać taką metodą, że w drugim równaniu przeniosłam a_n na drugą stronę, dzięki czemu otrzymałam wynik −2, co jest równoznaczne z tym, że ciąg jest malejący (bo a_n+1 − a_n < 0). Pojawia się jednak pytanie, jak rozwiązać to w inny sposób − w końcu nie zawsze dam radę tą metodą.Szczególnie problematyczny jest dla mnie inny przykład, w którym należy zbadać monotoniczność ciągu, mianowicie: a₁ = 0,5

	1
an + 1 =		dla n ≥ 1
	an

W odpowiedziach mam, że ciąg jest niemonotoniczny. Bardzo proszę o dosyć łopatologiczne wytłumaczenie mi, dlaczego tak się dzieje i jak powinnam rozwiązywać zadania tego typu.

sedrtyuh: Podbijam. Bardzo proszę o pomoc

sedrtyuh: ?

Raf131: Przy ciągach opisanych rekurencyjnie można próbować znaleźć wzór ciągu pierwszy przypadek, wypisujemy kolejne wyrazy 3, 1, −1, −3, −5, −7,... wzór: a_n = 5 − 2n drugi przypadek

1		1		1		1
	, 2,		, 2,		, 2,		, 2,...
2		2		2		2

można to zapisać jako: 2⁻¹, 2¹, 2⁻¹, 2¹, 2⁻¹, 2¹, 2⁻¹, 2¹, ... wzór: a_n = 2⁽⁻¹⁾ⁿ tutaj to po prostu stwierdzamy, że ciąg nie jest monotoniczny bo wyrazy w nieskończoność na przemian wzrastają i maleją

sedrtyuh: Rozumiem o co chodzi z tym, że jest niemonotoniczny, ale mogłabym prosić o wyjaśnienie, skąd dokładnie wzięły się te wszystkie liczby? Bo ja już nic nie rozumiem ;c

Raf131: Masz wzór dany rekurencyjnie a₁ = 3 a_n+1 = a_n − 2 dla n≥1 i lecimy rekurencyjnie: na początku pierwszy wyraz mamy a₁ = 3, później dla n=1 a₁₊₁ = a₂ = a₁ − 2 = 3 − 2 = 1 dla n=2 a₂₊₁ = a₃ = a₂ − 2 = 1 − 2 = −1 dla n=3 a₃₊₁ = a₄ = a₃ − 2 = −1 − 2 = −3 itd, czyli ciąg ma postać 3, 1, −1, −3 a jak szukać wzorów? to kwestia już czasami niemalże artystyczna , patrzy się na kolejne wyrazy ciągu i trzeba trochę kombinować jak stworzyć wzór, nie sposób tego opisać i nie dla wszystkich ciągów da się podać je w sposób łatwy, czasami wręcz wydawać się może, że nie istnieje taki wzór, ale z mówieniem, że na pewno nie istnieje to trzeba się powstrzymywać