dowód czesio1296: Wykaż, że dla n€N liczba postaci (n+2)⁴−n⁴ jest podzielna przez 16.

Janek191: Zastosuj wzór a² − b² = ( a − b)*( a + b)

czesio1296: Po wymnozeniu wychodzi cos takiego 8n³+24n²+32n+16... gdybym przemnozyl przez dwa to wyciagam 16 przed nawias. Pytanie czy moge przemnozyc przez 2?

juzek: nie można przemnożyć przez 2 trzeba inaczej kombinować np wyciągnąc 8 przed nawias i udowodnić że liczba w nawiasie jest parzysta

Janek191: Nie , ale możesz wyciągnąć 8.

juzek: 8(n³+3n²+4n+2) n³+3n²+4n+2 n³+3n² 4n+2 można pominąć bo na pewno jest parzyste n²(n+3) jest parzyste ponieważ albo n² albo n+3 jest parzyste a mnożąc liczbę parzystą lub nie przez liczbę parzystą otrzymamy liczbę parzystą

PW: A może dowód będzie prosty, gdy rozważysz osobno: − parzyste n (n = 2k) − nieparzyste n (n = 2k+1)?

Janek191: =[ ( n + 2)²]² − (n²)² = [ ( n +2)² − n²]*[ ( n + 2)² + n²] = = [ n² + 4 n + 4 − n² ]*[ n² + 4 n + 4 + n²] = = 4*( n + 1)*(2 n² + 4 n + 4) = 8*( n + 1)*( n² + 2 n + 2) = = 8*( n + 1)*[ n*( n + 1) + 2 ] Liczba w nawiasie kwadratowym jest parzysta.

czesio1296: Dzieki, juz rozumiem

Janek191: Trzeba było mnie posłuchać