pochodne, wielomian
mateusz: Udowodnić,że x0 jest pierwiastkiem co najmniej podwójnym wielomianu W(x) wtedy i tylko
wtedy, gdy W(x0)=W'(x0)=0
23 mar 15:49
Godzio:
Niech x0 będzie pierwiastkiem o najmniej podwójnym wielomianu stopnia n, zatem
W(x) = (x − x0)2(anxn−2 + ... + a3x + a2)
W'(x) = 2(x − x0)(anxn−2 + ... + a3x + a2) + (x − x0)2((n−2)anxn−3 + ... + a3)
Zatem W(x0) = W'(x0) = 0.
Niech teraz W(x0) = 0 oraz W'(x0) = 0
Z pierwszego równania mamy:
W(x) = (x − x0)(anxn−1 + ... + a1)
W'(x) = (anxn−1 + ... + a1) + (x − x0)((n − 1)anxn−2 + ... + a2)
W'(x0) = anx0n−1 + ... + a1 = 0, ale to całe wyrażenie występuje w W(x)
więc W(x) = (x − x0)2(bnxn−2 + ... + b2), zatem x0 jest pierwiastkiem podwójnym.
23 mar 16:03