Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo aanka: 6 ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w pięciu pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste?

aanka:

Mila: |Ω|=5⁶ Każda kula może "wybrac" pudełko na 5 sposobów.

5
2

=10 − wybór dwóch pudełek, które będą puste

A− 6 kul rozmieścimy w trzech pudełkach i żadne nie będzie puste. 6 kul możemy rozmieścić w trzech pudełkach na 3⁶ sposobów, ale niektóre będą puste− odejmiemy te przypadki. A' − jedno z pudełek puste ( kule rozmieszczone w dwóch pudełkach) lub dwa pudełka puste (wszystkie kule umieścimy w jednym pudełku)

3
1

3
2

|A'|=

*(26−2)+

*1=3*(64−2)+3=3*62+3=189

5
2

|A|=

*[36−189]=10*(729−189)=10*540=5400

W jednym działaniu:

5
2

3
1

3
2

|A|=

*[36−(

*(26−2)+

)]

Mila:

	5400
P(A)=		licz do końca
	5⁶

Jacek: Możliwe układy dla pudełek, do których trafią kule: 1. 2 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 2 z 2 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

6
2

5
1

4
2

4
1

2
2

3
1

*

*

*

*

*

2. 3 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

6
3

5
1

3
2

4
1

1
1

3
1

*

*

*

*

*

3. 4 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 1 z 2 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

6
4

5
1

2
1

4
1

1
1

3
1

*

*

*

*

*

Sumujemy 1.+2.+3. i dzielimy przez |Ω|, by otrzymać wartość prawdopodobieństwa |Ω|=5⁶

Jacek: Błąd merytoryczny w moim rozwiązaniu, ale jeszcze nie wiem jak ładnie go opisać.

PW: Przestrzeń zdarzeń nie może być inna niż u szanownych przedmówców. Z nudów przedstawię inny sposób policzenia sposobów rozmieszczeń kul (nie tak fachowy jak u Mili, a bardziej "czynnościowy"). Załóżmy, że 3 pudełka, w których mają być rozmieszczone kule, są już wybrane. Rozwiązanie "ilościowe" (wkładamy kule do pudełek nie zwracając uwagi na numerację) polega na znalezieniu liczby rozwiązań równania x₁ + x₂ + x₃ = 6, x₁, x₂, x₃ ∊{1,2,3,4,5,6}.

6−1
3−1

5
2

Jak wiadomo rozwiązań takich jest 

=

 = 10, są to:

(1) 1 + 1 + 4 (2) 1 + 4 + 1 (3) 4 + 1 + 1 (4) 1 + 2 + 3 (5) 1 + 3 + 2 (6) 3 + 2 + 1 (7) 3 + 1 + 2 (8) 2 + 3 + 1 (9) 2 + 1 + 3 (10) 2 + 2 + 2. Za każdym razem rozkładamy 6 kul, teoretycznie więc − gdyby kule układał w szufladach równiutko po kolei − powinniśmy policzyć 6! permutacji tych kul, aby uwzględnić ich numerację. Tak jednak nie jest, w wersjach (1), (2) i (3) przestawianie między sobą 4 kul znajdujących się w tej samej szufladzie nie stanowi istotnie różnego rozmieszczenia, a więc różnych rozmieszczeń jest

	6!
		.
	4!

W wersjach (4) − (9) różnych rozmieszczeń jest

	6!
		,
	3!·2!

a w wersji (10)

	6!
		.
	2!·2!·2!

Różnych rozmieszczeń w trzech szufladach (żadna nie jest pusta) mamy zatem

	6!		6!		6!
3·		+ 6·		+		= 3·30 + 6·60 + 90 = 540.
	4!		3!·2!		2!·2!·2!

5
3

Trzy szuflady spośród 5 można wybrać na 

 = 10 sposobów, czyli możliwych rozmieszczeń

opisanych w zadaniu jest 10·540 = 5400.

Mila: Witam PW , miałam właśnie Jackowi zaproponować rozkłady kul: 2,2,2 1,1,4 1,2,3 emotka

Jacek: Dzięki PW za ten wpis. Na prawdę fajny. Zasadniczo widzę, że jest jakby z innej perspektywy, tzn, szuflady wybierają kule, nie zaś kule szuflady. Ja u siebie widzę, gdzie pojawia się błąd, który generuje nadmiarowe wariacje, ale nie jestem jeszcze w stanie dobrze go scharakteryzować. Bo powinno być: 1. 2 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 2 z 2 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

=900	

3!

2. 3 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

6
3

5
1

3
2

4
1

1
1

3
1

*

*

*

*

*

=3600

3. 4 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 1 z 2 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

=900	

2!

Jacek: W sumie to nie wiem czy nieco inaczej podchodzę do tego niż np. Mila (mam na myśli akurat to i podobne zadania). Zasadniczo to ilość kombinacji miejsc mnożę przez ilość wariacji z danego zbioru przypadającej na te miejsca. Ilości kombinacji miejsc (w tym przypadku kul) nie można pomylić z ilością kombinacji elementów danego zbioru "wartości" (w tym przypadku pudełek), z którego następnie tworzymy wariację na tych wybranych miejscach. Czyli weźmy zapis Mili z Jej rozwiązania:

5
2

3
1

3
2

*[36−(

*(26−2)+

)]

, ja zapisałbym to nieco inaczej:

6
6

5
3

3
2

3
1

*

*[36−

*(26−2)−

]

, gdzie z "ciekawszych" czynników:

6
6

 − Ilości kombinacji miejsc, na jakich będziemy rozmieszczać elementy danego zbioru

"wartości", nie pozostawiając żadnego z 6 wolnym

5
3

 − ilość kombinacji pudełek odpowiada ilości zbiorów 3 elementowych (każdy zbiór to

kombinacja 3 pudełek) z jakich losować mamy na 6 miejscach=kulach

3
2

 − ilość kombinacji pudełek zawężająca zbiory wartości do 2 elementowych kombinacji

pudełek,

3
1

 − ilość kombinacji zawężająca zbiory wartości do 1 elementowych kombinacji pudełek,

− w zasadzie po wymnożeniu przez niedopisane 1⁶ to wariacji, gdzie obsadzamy jednym pudełkiem wszystkie kule) Problem w moim pierwszym rozwiązaniu to w dwóch na trzy przypadkach nadmiarowe policzenie kombinacji miejsc. Ale dalej nie wiem jak to ładnie zapisać z uzasadnieniem.

?: Jacek będziesz studiować filozofię? emotka

Jacek: Dzięki jeszcze raz dla PW i Mili. Nie za bardzo wcześniej(mam nadzieję, że teraz kojarzę) wiedziałem jakie dokładnie "mieszania"

6!

6
2

4
2

2
2

 realizuje np. 

. Dziś widzę, że to 

*

*

 i że poprawnie nie

2!*2!*2!

uwzględnia permutacji wewnętrznych zbiorów dwóch kulek w pudełku. Ale ciekawiej robi się przy wyborze np: 4 kul do jednego pudełka, po jednej w dwóch pozostałych.

6
4

2
1

1
1

Wariacje ułożenia kul w trzech pudełkach W = 

*

*

 uwzględniają przestawania

dla już wybranych funkcji pudełek, tj. ilości kul w danym pudełku, ale nie uwzględniają jeszcze, że mamy trzy warianty wyboru funkcji pudełka, czyli tak jak napisał PW : rozmieszczenia 1+1+4, 1+4+1, 4+1+1. Uwzględnienie liczebności tych wariantów funkcji oraz liczby wariacji ułożenia kul (W) powoduje, że wyboru pudełek ze wszystkich pięciu, należy dokonać przy użyciu kombinacji

5
3

J:

5
3

*36

J: żeby się nie skończyło doktoratem wybiersmy 3 szuflady i rozmieszczamy 6 kul

J: przesadziłem emotka

Jacek: Zapisałbym to tak, choć to już w zasadzie to samo co dał PW 1. 2 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 2 z 2 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

5
3

6
2

4
2

2
2

*1*

*

*

=900

2. 3 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 2 z 4 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

5
3

6
3

3
2

1
1

*6*

*

*

=3600

3. 4 z 6 kul w 1 z 5 pudełek + 1 z 2 pozostających kul w 1 z 4 pozostających pudełek + 1 z 1 pozostających kul w 1 z 3 pozostających pudełek

5
3

6
4

2
1

1
1

*3*

*

*

=900

Nie wiem jeszcze jak ostatecznie zapisywać te 6 z 2. podpunktu oraz 3 z 3. podpunktu

3
1

2
1

3
1

Czy zapis 6=

*

 oraz 3=

 byłby najbardziej odpowiedni?  