planimetria xx2: Dany jest trójkąt ABC, w którym |BC|=a, |AC|=b oraz miara kąta ACB = 120 stopni. Punkt D jest środkiem boku AB tego trójkąta. Udowodnij, że |CD| = ¹₂√a² − ab + b². Wyznaczyłem z tw. cosinusów bok leżący naprzeciwko kąta ACB i nie wiem co dalej. Byłbym wdzięczny jakby mi ktoś pomógł

stonoga:

	1
czy tam nie powinno być, udowodnij że |AD| lub |BD| =		√a2 − ab + b2
	2

xx2: Nie. Chodzi o środkową |CD|.

Jaro: Poczytaj sobie o twierdzeniu Stewarta. Z niego się dowiesz (podstawiając do wartości w tym zadaniu, przyjmijmy na razie, że |AB|=c), że:

	12a2c+12b2c
|CD|2=		−(12c)2 (1)
	c

c, jak pewnie wyliczyłeś z twierdzenia cosinusów, jest równe √a²+b²−2absin(120)=√a²+b²−ab (2) podstawiamy (2) do (1), skracając wcześniej c:

	1		1
|CD|2=		(a2+b2)−		(a2+b2−ab)
	2		4

Koniec. Wystarczy, że sprowadzisz do wspólnego mianownika, uprościsz co się da i wychodzi, że |CD|=√¹₄(a²−ab+b²) pozdrawiam

prosta: a²=x²+c²−2cxcosα b²=x²+c²+2cxcosα a²+b²=2x²+2c²

	a2+b2−2abcos120o
a2+b2=2x2+2
	4

	a2+b2+ab
a2+b2=2x2+
	2

4x²=a²+b²−ab

stonoga: kąt ACB = 120^o, kąt CDB = α, a kąt CDA = 180^o − α korzystamy z twierdzenia cosinusów najpierw dla trójkąta ABC c²=a²+b²−2ab−cos120^o

	1
c2=a2+b2+ab (cos120o = −		)
	2

c = √a²+b²+ab = √(a+b)² teraz korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ACD i DCB

	1
a2 = d2 + (		c)2 − 2ab cosα
	2

	1
b2 = d2 + (		c)2 − 2ab cos(180o−α)
	2

cos(180^o−α) = −cosα

	1
a2 = d2 +		c2 − 2ab cosα
	4

	1
b2 = d2 +		c2 + 2ab cosα
	4

dodajemy stronami

	1
a2 + b2 = 2d2 +		c2
	2

	1		1
d2=		(a2 + b2 −		c2)
	2		2

	1
d=		√a2 + b2 − 12c2
	√2

	1
d=		√2a2+2b2−c2
	2

za c podstawiamy √(a+b)²

	1		1		1
d=		√2a2+2b2−(a+b)2=		√2a2+2b2−a2−ab−b2=		√a2+b2−ab
	2		2		2

	1
d=		√a2−ab+b2
	2