Funkcja lipschitzowska BraciaRatujcie: FUNKCJA LIPSCHITZOWSKA Drogi PW, jeśli możesz − rzuć okiem Jak pokazać, że jeśli funkcja jest różniczkowalna i jej pochodna jest ograniczona to funkcja ta jest lipschitzowska? I jak znaleźć maksymalną stałą w nierówności: |f(x)−f(y)| ≤ c * |x−y|

BraciaRatujcie: A, i nie miałem jeszcze twierdzenia Lagrange'a, więc raczej bez niego...

BraciaRatujcie: A nie, jednak może być i z tym twierdzonkiem. Sory za zamieszanie.

up: UP

zombi: f − rózniczkowalna i ciągła odpowiednio na (x,y) i [x,y]. To z tw. Lagrange'a o wartości średniej:

f(x)−f(y)
	= f'(c)
x−y

⇔ f(x) − f(y) = (x−y)f'(c) (z zał. o pochodnej ograniczonej) (x−y)f'(c) ≤ M(x−y), czyli f(x) − f(y) ≤ M(x−y) − Lipschitz Tam znaki popoprawiaj.

up: W sumie sam zrobiłem to jeszcze ciut inaczej. Może okazać Ci swoje rozwiązanie tak, abyś ocenił jego słuszność?

zombi: pokaż

up: Sekunda

BraciaRatujcie: Drobna uwaga − zadaniu mam rozważyć funkcję f : R → R. W dowodzie skorzystam z tego, że: Skoro f jest różniczkowalna to f jest ciągła. Pochodna f' jest ograniczona. No i oczywiście z tw. Lagrange'a. Dla dowolnych x, y ∊ R takich, że x < y mamy: |f(x) − f(y)| = |f'(u) * (x−y)| ≤ | sup {|f'(v)| : v ∊ (x,y)} * (x − y) | Definiując stałą c jako sup {|f'(v)| : v ∊ (x,y)} mamy: |f(x) − f(y)| ≤ |c * (x − y)| = c * |x − y| Dla dowolnych x, y ∊ R; (x < y), czyli na mocy tw. Lagrange'a owa funkcja jest Lipschitzowska. Ponadto, największe c w nierówności: |f(x) − f(y) ≤ c * |x − y| wynosi max(c) ≥ sup {|f'(v)| : v ∊ R} Dobrze?