Zadanka Benny: Oblicz prawdopodobieństwo, że przy czterokrotnym rzucie kostka sześcienną trzy kolejne wyniki utworzą ciąg geometryczny. |Ω|=6⁴ jeśli weźmiemy 1 jako pierwszy wyraz to kolejny może być {1,2,3,4,5,6} ale, kostka ma cyfry {1,2,3,4,5,6}, więc iloraz może być stały lub równy 2, ponieważ gdy będzie to cyfra 3, trzeci wyraz byłby równy 9 co jest niemożliwe. mamy takie możliwości (1,2,4) (4,2,1) (1,1,1) (2,2,2) ... (6,6,6) dla ciągów (1,2,4) oraz (4,2,1) mamy po 12 możliwości, więc łącznie będzie 24 dla ciągów o ilorazie stałym mamy po 1 możliwości ustawienia "trójki" + 10 innej cyfry (dobrze myślę?) możliwości, więc |A|=24+6*11=90

	90		5
P(A)=		=
	64		72

Mila: Wynik dobry, rozumowanie też, zapisy dałabym tak: A={(k,k,k,m) lub (m,k,k,k) lub (1,2,4,k) lub (k,1,2,4) lub (4,2,1,k) lub (k,4,2,1) gdzie k, m∊{1,2,3,4,,5,6}} |A|=6*6+6*6−6+4*6=90

Benny: Możesz powiedzieć czemu tak policzyłaś |A|?

Mila: Policzyłam tak samo jak Ty, tylko zapisałam inaczej. (k,k, k, m) zdarzenie: np.(1,1,1,m) i m∊{1,2,3,4,5,6} Wśród tych zdarzeń będzie (1,1,1,1) Zdarzeń będzie 36. (m,k,k,k) , m∊{1,2,3,4,5,6} np(m,1,1,1) Wśród tych zdarzeń będzie (1,1,1,1) zatem dwa razy policzone (1,1,1,1),(2,2,2,2), ,... to odjęłam 6 zdarzeń. Itd. Coś się nie zgadza?

Benny: Wszystko ok. Musiałem sobie to poukładać tylko

Mila: Dla relaksu: 5) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,...1993} losujemy jedną liczbę . Obliczyc prawdopodobieństwo zdarzenia ,że wylosowana liczba jest podzielna pprzez 12 lub 15.

Benny:

	421
P(A)=		?
	1993

Benny: Nieee coś mi nie pasuje

Benny: 166 będzie liczb podzielnych przez 12. Zrobiłem to tak obliczyłem ile jest podzielnych przez 3 i przez 4 i odjąłem od siebie, ale z 15 coś tak nie wychodzi

Benny:

	299
P(A)=		ale nie wiem czemu jak robię tak z 15 to muszę podzielić jeszcze przez 2
	1993

Mila: |Ω|=1993 A− zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 12.

	1993
|A|=[		]=166 (albo liczysz z ciągu arytmetycznego )
	12

B− zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15.

	1993
|B|=[		]=132
	15

A∩B− zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna prze 12 i przez 15 , czyli NWW(12,15)=60

	1993
|A∩B|=[		]=33
	60

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)⇔

	166+132−33
P(A∪B)=		=..
	1993

Benny: Jeju... po co ja zacząłem kombinować z tymi podzielnościami przez 3,4,5

Benny: Może jakieś zadanka na jutro?

Mila: 6) iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych równa sie ich pięciokrotnej sumie. Co to za liczby? 7) Rozwiąż nierówność 2x+log(1+4^x)≥x log(25)+log(6) 8) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,...n} losujemy kolejno ( bez zwracania ) dwie liczby i od pierwszej odejmujemy drugą. Obliczyć prawdopodobieństwo p, że różnica jest mniejsza od 2.

Benny: Dziękuje i dobranoc

Mila: Dobranoc

Benny: W zadanku nr 6) wychodzi parę rozwiązań, ale trzeba niektóre odrzucić ze względu na to, że muszą być liczbą pierwsza, więc zostają rozwiązania (2,7,5)

	1
zadanie nr 7) wychodzi równanie wykładnicze x∊<		;+∞)
	2

no i zadanko nr 8) mam nadzieje, że będzie dobrze |Ω|=n*(n−1) A'−różnica jest większa bądź równa 2

	1+n−2
i tutaj zrobiłem sumę ciągu Sn=		*(n−2)
	2

	(n−1)*(n−2)
Sn=
	2

S_n=|A'| P(A)=1−P(A')

	n+2
P(A)=
	2n

Mila: Wszystko zgadza się.

Benny: O proszę Jakiś inny sposób na to zadanko z prawdopodobieństwem?

Mila: To bardzo dobry sposób.

Benny: To się bardzo cieszę

Mila: Widziałam tu zadanie z ostrosłupem dla Ciebie, jak nie znajdę, to napiszę podobne.

Mila: 9) W sześcianie o wierzchołkach A₁,A₂,A₃,...A₈ ponumerowano w sposob losowy wszystkie krawędzie numerami od 1 do 12. Oblicz prawdopodobieństwo, że z jednego wierzchołka wychodzą krawędzie o numerach 1,2,3. Czy możliwe jest takie ponumerowanie , aby suma numerów krawędzi wychodzących z każdego wierzcholka była taka sama? Odpowiedx uzasadnij.

Benny: Omegę z reguły mnożenia? 12*11*10...*1=12! |Ω|=12! mamy powiedzmy wierzchołek A₃, wychodzą z niej trzy krawędzie, więc pierwsza liczba na 3 sposoby, druga na 2 i trzecia na 1(3!) reszta 9*8*7*...*1=9! mamy tych wierzchołków 8, więc 8 możliwości

	8*3!*9!
P(A)=
	12!

	2
P(A)=
	55

Zawsze zapominam jak policzyć omegę, czy to mają być kombinacje czy wariację Jeśli suma wszystkich będzie równa 78 to nie da się podzielić na 8, żeby wyszła liczba naturalna

Jacek: Proszę o wyjaśnienie do 7), bo się jakoś zapętliłem przy 4^x+4^2x≥6 8) robiłem bezpośrednio dla różnicy <2 Chcąc otrzymać łączną ilość wariacji spełniających kryterium sumujemy ilość dostępnych wariacji dla każdej kolejnej liczby: (n−1)+(n−1)+(n−2)+(n−3)+(n−4)+....+(n−(n−2))+(n−(n−1))

	n
Suma tego ciągu: S=(n−1)*(		+1)
	2

W sumie wychodzi ten sam wynik co przy 1−P(≥2)

Benny: podstawiasz niewiadomą t=4^x no i masz nierówność (t+3)(t−2)≥0 i z tego t≤−3 ⋁t≥2 t≤−3 jest oczywiście sprzeczne, więc rozwiązujesz t≥2 4^x≥2 2^2x≥2¹

	1
2x≥1 x≥
	2

Mila: Benny, dobrze. Nie wiem czy zapisy masz w brudnopisie pełne. |Ω|− dobrze , 12 "numerów" mozesz ustawić na 12! sposobów (permutacje). b) sumy :

8s
	=78 ⇔4s=78 ( podwójnie są liczone krawędzie )
2

78 nie jest podzielne przez 4.

Benny: Zapisy do którego zadanka?

Mila: Ogólnie, np. do (6), czy rozpisałes wszystko?

Benny: Wydaję mi się że tak

Mila: To dobrze.

Mila: 10) Dwie skośne wzgledem siebie krawędzie ostrosłupa trójkątnego maja długość równą b, a pozostałe krawędzie mają długość równą a. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 11) Pole S trójkąta ABC sełnia równość: S=a²−(b−c)², gdzie a,b,c są długościami boków trójkata leżącymi odpowiednio naprzeciw kątów: α,β,γ. Wyznacz miarę kata α. ( cosα wystarczy)

Benny: Dziś nie miałem kiedy i jak zrobić te zadanka (wiosna itp, )Jutro Milu będziesz miała czas? Bo chciałbym się wziąć mocno do roboty. Ps. Gdzieś wyczytałem temat o OM, zadanka kiedyś widziałem w szkole. Teraz nie wiem czy to z ograniczonej wiedzy nie robiłem tych zadań czy moja szkoła po prostu pokazuje to, ale nie zachęca. Nie chcę być ograniczony umysłowo, czemu każda szkoła nie zapewnia rozwijania siebie?

Qulka: bo szkoła ma szkolić rzesze pracowników a nie edukować wyjątki http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%92x3%2B6x2%E2%88%9211x%2B6%3E0

Mila: Nie przesadzaj, oceniam wysoko Twoją wiedzę i inteligencję. Wszystko przed Tobą otwarte. Jutro idź na randkę, to poprawisz sobie humor. Ja idę na imprezę, będę późno w domu.

Benny: Problem w tym, że jutro ostatni dzień przygotowań do konkursu

Mila: Eta Ci pomoże , wykształciła wielu olimpijczyków .

Benny: Nie zaliczam się do olimpijczyków. Dajmy na to przykład z ostatniej próbnej matury. Ponad połowa klasy rozwiązała zadanko z planimetrii( trzeba było wykazać równość pól), którego ja nie rozwiązałem. Pustka, nie widziałem nic.

Mila: To popracujemy nad planimetria. A ile % miałeś z próbnej?

Benny: Było parę ich, ale wolę się nie ośmieszać. Nie wiem czemu te zadanka z podstawy czasem wydają mi się trudniejsze od rozszerzenia. No, ale średnio to 90%+ Zawsze odejmują mi pkt za jakieś braki odp czy coś podobnego

Mila: To przecież bardzo dobrze, a straty zawsze jakieś są, do matury doszlifujesz wszystko, a potem popracujesz ,aby nie mieć kłoptów na studiach.

Benny: Milu, Ty może nauczycielką jesteś? Wiem, że głupie pytanie, ale lubię wiedzieć z kim mam do czynienia

Mila: Musisz sam wyciągnąć wnioski na podstawie mojej pracy tutaj.

Benny: To nie jest takie proste Na pierwszy rzut oka mogłabyś powiedzieć, że jestem uczniem klasy maturalnej?

Mila: A nie jesteś?

Benny: No oczywiście, że jestem ale chodziło mi o to, że człowieka nie zawsze możemy rozpoznać przez pryzmat tego co robi

Patryk: Mila, że się tak wtrącę... Miałabyś jakiś pomysł na powtórkę wszystkiego do matury rozszerzonej? Uczę już się od jakiegoś czasu i doszlifowywuję się korzystając z poprzednich arkuszy, ale one są mocno ograniczone (zdaję jeszcze starą maturę − jestem w technikum). Nie wiem skąd brać jakieś zadania typowo maturalne, a zostało niewiele czasu, właściwie to akurat własnie na powtórkę

Mila: Patryk, Arkusze Pazdro z ubiegłych lat były w Necie. NA Info masz próbne matury dla technikum, więc możesz rozwiązywać. Może jutro późnym wieczorem coś znajdę, to dam Linki.

Mila: http://www.zadania.info/d1631

Qulka: może strona http://maturana6.pl/arkusze-maturalne/matematyka masz różniste arkusze

Mila: Dobranoc wszystkim.

Patryk: Dzięki wielkie! Jutro przejrzę, a tymczasem uciekam spać. Jakby Panie znały jeszcze jakieś strony ciekawe, to proszę się nie krępować z wysłaniem ich Dobrej nocy życzę!

Benny: Oblicz, ile jest punktów (x,y ) na płaszczyźnie, których współrzędne x i y są liczbami całkowitymi spełniającymi odpowiednio nierówności: |17 9− x | < 43 i |y+ 372| < 21 . Wychodzi mi pewna ograniczona figura i nie rozumiem za bardzo jak mam "policzyć" te punkty.

Benny: Ktoś zaglądnie?

Benny: Eta, masz troszkę czasu, żeby pomóc?

Eta: 1/ |x−179|<43 ⇒ x∊(136,222) w tym przedziale mamy 222−136 +1 = 87 liczb całkowitych 2/ |y+372|<21 ⇒ y∊(−393, −351) w tym przedziale mamy: −351+393+1= 43 liczb całkowitych Liczymy punkty "kratowe" wewnątrz takiego prostokąta( bez punktów na brzegach bo przedziały są otwarte mamy zatem : 87*43− [87*2+(43−2)*2]= .... takich punktów

Benny: Jeśli dobrze myślę to 43−2 jest z racji tego, że nie liczymy dwa razy tych samych punktów?

Eta: Taki przykład: 1/ x∊(3,9) w nim 7 liczb całkowitych 2/ y∊(2,6) w nim 5 liczb całkowitych to: 7*5−[2*7+(5−2)*2]= 35 −20= 15 takich "kropek" par (x, y) ∊C jasne ?

Benny: Tak, chciałem się tylko upewnić Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność

	1		1
(		)x4 + (		)x3 > 3x2 − 16.
	4		3

tutaj myślałem coś o pochodnych aby przedstawić za pomocą dwóch funkcji i wykazać za pomocą monotoniczności

miron: Weź wszystko na jedną stronę. Policz granice w niesk i min. niesk oraz pochodne, extrema i wykaż ze funkcja jest zawsze >0

jankokoko: Skoro robicie arkusze z zadania.info to poweidźcie mi co z robić w nim W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędć podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę α>30 stopni oblicz obj ostrosłupa Policzyłem objętość że wynosi ( a³ * √3tg2α −1 ) / 24 Co teraz ? Co mam zrobić z tym faktem że α>30 stopni ?

jankokoko: dobra nie ważne juz wiem

Benny: Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej dwie „dwójki”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”.

Mila: Ponieważ to jest zadanie z INFO, gdzie trzeba płacić, to aby nie wchodzic w konflikt interesów, dam wskazówkę. A− otrzymamy co najmniej jedną piątkę − to łatwo obliczysz. B− otrzymamy co najmniej dwie „dwójki”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”. A∩B Masz takie zdarzenia sprzyjające : (5,2,2,X) gdzie x∊{1,3,4,6} , pamiętaj o permutacji (5,2,2,2) − liczba zdarzeń 4 (5,5,2,2)− liczba zdarzeń ?

Benny:

	671
P(A)=
	1296

	4!*4
(5,2,2,X)−		=48
	2!

(5,2,2,2)−4

	4!
(5,5,2,2)−		=6
	2!*2!

|A∩B|=58

	58
P(A∩B)=
	1296

	58		1296
P(B|A)=		*
	1296		671

	58
P(B|A)=		?
	671

Mila: Jak tam konkurs?

Benny: Tak jak się spodziewałem, prawdopodobieństwo, którego nie lubię i to jeszcze takie... ze zbioru {1,2,3...,n} losujemy bez zwracania k liczb i otrzymujemy ciąg a₁,a₂,...,a_k 3≤k≤n a)jakie jest prawdopodobieństwo, że a_k jest największa b)jakie jest prawdopodobieństwo, że a_k jest podzielna przez 3 jakoś tak to szło, podpunktu c nie pamiętam Było też takie: na kuli opisano stożek, promień kuli R=2cm, oblicz wysokość stożka dla którego objętość jest najmniejsza. Nie wiem co się stało, ale błądziłem w niewiadomych, nie mogłem uzależnić promienia stożka od wysokości na dodatek cały dzień boli mnie głowa

Mila: Zobaczymy, jakie nastroje mieli przyszli studenci po wyjściu z sali?

Benny: Śmiać i płakać mi się chciało. Płakać z mojej głupoty, a śmiać z głupoty kumpli z klasy Jeden zrobił zadanko całkiem odwrotnie, wpisał stożek w kule, drugi jakieś nowe wzory do trójkąta wymyślił Co myślisz o tym zadanku z prawdopodobieństwa? Tego co zrobiłem i wstawiłem do zrobienia.

Mila: Myślę, że obydwa są trudne dla licealisty. Jakie zadania ( jakiego typu) rozwiązałeś wg Ciebie dobrze?

Benny: Nierówność wymierna, równanie trygonometryczne, coś chyba z analitycznej, 3²⁰¹⁶+4 jakie ma dzielniki naturalne mniejsze od 7 coś kombinowałem jeszcze z jakimś równaniem |mx²−2x|=m ale nie mogłem za bardzo zrozumieć treści. Coś tam było, że suma pierwiastków tego równania przyporządkowuje wartość m? Jakoś tak, trzeba było narysować do tego wykres g(m)

Benny: Nierówność wykładnicza* Możemy te zadanka spróbować rozwiązać?

Mila: To nie jest tak źle.

Mila: Może dzisiaj odpocznij, ale oczywiście możemy.

Benny: To pewnie jutro się będę odzywał, a teraz najwyżej sobie jakieś maturki z podstawy porobię

Benny: R=2cm H=y+R y=H−R l=x+r x=l−r

⎧	H2+r2=l2
⎩	(H−R)2=R2+(l−r)2

H²−4H+4=4+l²−2lr +r² tutaj za l² wstawiłem H²+r² H²−4H=H²+r²−2√H²+r²*r +r² −4H=2r²−2√H²+r²*r √H²+r²*r=r²+2H /:r

	2H
√H2+r2=r+		/()2
	r

	2H		4H2
H2+r2=r2+2*r*		+
	r		r2

	4H2
H2=4H+		/*r2
	r2

H²*r²=4H*r²+4H² r²*(H²−4H)=4H²

	4H2
r2=
	H2−4H

	4H
r2=
	H−4

	1		4H
V=		*π*		*H
	3		H−4

	1		8H*(H−4)−4H2
V'(H)=		*π*
	3		(H−4)2

punkty krytyczne, więc przyrównujemy licznik do 0 4H²−32H=0 4H*(H−8)=0 dla H=8 jest minimum, więc dla H=8 objętość jest najmniejsza Jaki ja jestem głupi... robiłem tak cały czas, ale gdy dochodziłem do pierwiastka √H²+r² to się poplątałem i myślałem, że cały czas coś źle robię. Czemu zawsze po fakcie wszystko wraca do głowy

Mila: Może tak trochę mniej liczenia: |OC|=h, h>0 r=2− promień okręgu wpisanego w ΔABC W ΔCOB:

	R
tgα=
	h

W ΔCES:

	2
tgα=
	x

	2		R
⇔(1)		=		/2
	x		h

	4		r2
(2)		=
	x2		h2

x²+2²=(h−2)² x²+4=h²−4h+4 x²=h²−4h podstawiając do (2)

4		R2
	=
h2−4h		h2

	4h
R2=
	h−4

	4π		h2
V(h)=		*
	3		h−4

	4π		2h*(h−4)−h2
V'(h)=		*
	3		(h−4)2

V'(h)=0⇔h=8 V'(h)>0⇔h<0 lub h>8 dla h=8 V(h) ma min V(8)=...

Benny: Mój pierwszy pomysł był taki, żeby może jakoś z trygonometrii policzyć, ale pomyślałem, że z układu będzie pewniej

Benny: Mój pierwszy pomysł był taki, żeby może jakoś z trygonometrii policzyć, ale pomyślałem, że z układu będzie pewniej

Mila: W obu sposobach jest trochę liczenia.

Benny: Myślałaś coś może nad tym prawdopodobieństwem?

Mila: Oj, nie, boli głowa od samego czytania, jak odpocznę to przeczytam i pomyślę. Wolę coś mniej abstrakcyjnego. Przecież nie ma pośpiechu.

Benny: Jasne, że nie To może jakieś normalne zadanka są do zrobienia?

Mila: Widzę, że z okręgiem wpisanym w Δ coś trzeba robic. Miałam Ci podrzucić przed konkursem, ale jakoś umknęło ( a szkoda) . 1)

	1
W wycinek koła o promieniu R wpisany jest okrąg o promieniu		R.
	3

Oblicz pole wycinka koła.

Benny:

r
	=sinx
R−r

R		3
	*		=sinx
3		2R

	1
sinx=
	2

x=30^o 2x=60⁰

60o		1
	*πR2=		*πR2
360o		6

Mila: +

Benny: Nie no ja chyba trochę ogarniam te okręgi wpisane, ale na konkursie chyba stres mnie zjadł

Mila: Benny to było trudne zadanie, kiedy wyniki?

Mila: 2) wyznacz zbiór wartości funkcji: f(x)=2cosx−cos(2x) dla x∊<0,2π>

Benny: Nie mam pojęcia kiedy wyniki, ale wiem i tak, że nie mam na co liczyć.

5-latek : Ale za to masz jakie doswiadczenie przed egzaminen maturalnym Inni tego nie maja . Ty juz masz

Benny:

	1
Zwf ∊<−3;1,5>, p=		∊<−1;1>
	2

Mila: +

Benny: a powiedz mi czy dobrze to robiłem, bo doprowadziłem to do postaci −2cos²x+2cosx+1 cosx=t −2t²+2t+1=0

	1
p=
	2

	1
i tutaj liczę f(1), f(−1) i f(		) ?
	2

Mila: Dobrze. zał. po podstawieniu: t∊<−1,1>

	1		1
xw=		∊<−1,1>⇔dla x=		funkcja f(t) ma wartość największą w tym przedziale.
	2		2

Najmniesza wartość na końcu przedziału, wybierasz.

Mila: Jeszcze trzeba zbadać, czy te wartości są przyjmowane w przedziale <0,2π>.

Benny: Założenie miałem, ale tu nie dopisałem. Mam teraz mały problem z dowodem Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach AB i CD. Wykaż że |AC|² + |BD|² = |AD|² + |BC|² + 2|AB|⋅|DC|. Próbowałem pitagorasa do ADE, BCF, ACF, BDE, ale chyba nie tędy droga, bo dziwne równania powychodzą jak wszystko wymnożę

Benny: Robiłem dwa razy na cosinusach, za pierwszym razem tak to sobie wymnożyłem, że nie wiedziałem już co do czego i myślałem, że źle. Blue napisała, że na cosinusach robiła, więc spróbowałem jeszcze raz i pykło

Mila:

Mila: Załóż nowy wątek z problemowym zadaniem.