stereometria Marta: wykaz, ze nie istnieje ostroslup prawidlowy czworokatny, ktorego kat dwuscienny miedzy scianami bocznymi jest rowny 60 stopni

PW: Żeby zmierzyć kąt dwuścienny, trzeba przeciąć go płaszczyzną prostopadłą do krawędzi (miara kata dwuściennego to miara kąta płaskiego będącego częścią wspólną kata dwuściennego i płaszczyzny). Punkt, w którym przecinają się krawędź kata dwuściennego i płaszczyzna, może być dowolny, miara kata nie zależy od wyboru tego punktu. Wybierzmy więc taki punkt na krawędzi bocznej ostrosłupa, by płaszczyzna prostopadła do tej krawędzi przecinała kwadrat w podstawie wzdłuż jego przekątnej. Nie lubię tu rysować, więc opisuję to, co większość ludzi narysuje intuicyjnie.Niech odcinek wyznaczony na krawędzi ma długość c (patrząc od podstawy). W przekroju powstaje trójkąt, którego jednym bokiem jest przekątna kwadratu a√2 mająca naprzeciwko badany kąt, a pozostałe dwa boki są równe, niech mają długości b. Wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa związek między a^, b² i c², a następnie zastosować twierdzenie cosinusów (a√2)² = b² + b² − 2b·b·cosα Powinno z tego wynikać, że kąt α jest rozwarty, a więc nie może mieć miary 60°.