Kombinatoryka- liczba dziesięciocyfrowa adamantan: Oblicz, ile jest dziesięciocyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 5, w zapisie których występują cyfry ze zbioru 0,1,2,3,4,5.

Qulka:

	9!		9!		9!		9!		9!
1+2•9•2+		+		+		+		+
	7!2!		7!		6!3!		2!6!		4!5!

adamantan: Możesz pokazać sposób rozwiązania?

PW: 5 = 5 5 = 4 + 1 lub 5 = 1 + 4 5 = 3 + 2 lub 5 = 3 + 2 5 = 3 + 1 + 1 lub 5 = 1 + 3 + 1 lub 5 = 1 + 1 + 3 5 = 2 + 2 + 1 lub 6 = 2 + 1 + 2 lub 5 = 1 + 2 + 2 5 = 2 + 1 + 1 + 1 lub 5 = 1 + 2 + 1 + 1 lub 5 = 1 + 1 + 2 + 1 lub 5 = 1 + 1+ 1+ 2 5 = 1 + 1+ 1 + 1 + 1 Są to wszystkie możliwe przedstawienia liczby 5 w postaci sumy liczb naturalnych co najmniej równych 1 i co najwyżej równych 5. Takie cyfry (z uwzględnieniem kolejności) mogą więc występować w zapisie liczby, o której mówi zadanie (oczywiście pozostałe cyfry muszą być zerami). Pierwsza z tych cyfr musi być pierwszą od lewej występującą w zapisie dziesiętnym, gdyż pierwsza cyfra nie może być zerem. Jedna jedyna możliwość − pierwsza cyfra 5 i dalej same zera − to pierwszy składnik w wyliczeniu Qulki. Dla liczb odpowiadających dwóm następnym wierszom wyliczanki sytuacja jest identyczna − na pierwszym miejscu w zapisie dziesiętnym − pierwszy składnik, na jednym z 9 pozostałych − drugi składnik (na pozostałych miejscach automatycznie muszą być cyfry 0). Stąd składnik rozwiązania 2·2·9. O następnych składnikach pomyśl samodzielnie.

Jacek: Moja propozycja: "5": 1 "4"+"1"

9 2		2 2
	*		*2!=9*2

"3"+"2"

9 2		2 2
	*		*2!=9*2

"3"+"1"+"1"

9 2		3 2		9!
	*		=		*3
				7!*2!

"2"+"2"+"1"

9 2		3 2		9!
	*		=		*3
				7!*2!

"2"+"1"+"1"+"1"

9 3		4 3		9!
	*		=		*4
				6!*3!

"1"+"1"+"1"+"1"+"1"

9 4		9!
	=
		5!*4!

W sumie:

	9!		9!		9!
1+2*9*2+		*6+		*4+
	7!*2!		6!*3!		5!*4!

Jacek: korekta do "4"+"1" i "3"+"2"

9 1		2 2
	*		*2!

w obu przypadkach, źle uzupełniłem Newtona, ale wynik mnożenia prawidłowej postaci dobry napisałem

Jacek: Qulka o ile dobrze policzyłem w Twoim wynik to 607, w mojej propozycji 715. Ciekaw jestem jaka jest prawidłowa odpowiedź. Zweryfikuję najwyżej metodę jaką liczę. adamantan masz może sam wynik do tego zadania, być może oboje mamy źle?

adamantan: wg mnie też wyszło 715 w odpowiedzi jest 253, co wg mnie jest niemożliwe

Jacek: Naprawdę w odpowiedziach jest 253?

Mila: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+.....+x₁₀=5 x₁≥1 ⇔ x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+.....+x₁₀=4 liczba rozwiązań tego równania w zbiorze N= liczbie kombinacji z powtórzeniami

4+10−1 4		13 4
	=		=715

Jacek: No, o to właśnie pytałem nie spodziewałem się takiego uzasadnienia...o ile rozumiem, to x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+.....+x₁0=4, bo odejmujemy sytuację, w której x₁=1 od sumy = 5, co pozwala nam opuścić warunek x₁≥1, czyli "nowe" x₁ może być jedną z liczb ze zbioru {0,1,2,3,4} tak jak pozostałe x₂,...,x₁0, ale jeśli w nowym równaniu załóżmy wychodzi nowe x₁=3, to nasze stare x₁=4? Dzięki.

Mila:

Qulka: faktycznie zapomniałam o 2+2+1