Wielomiany, zadanie z parametrem Patryk: Dany jest wielomian W(x) = x⁴ − mx² + m + 3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których ten wielomian ma dokładnie cztery pierwiastki. Do tego zadania mam napisany model rozwiązania, ale nie rozumiem niektórych rzeczy. Początkowo oznaczamy x² = t ⋀ t ≥ 0 − to jest zrozumiałe G(t) = t² − mt + m +3 Teraz warunki wynikające z treści: Δ > 0 ⋀ t₁ + t₂ > 0 ⋀ t₁t₂ > 0 Tych warunków nie rozumiem (poza deltą) Ale z ciekawości rozwiązywałem zadanie dalej, gdzie: Δ = m ² − 4m − 12 m ² − 4m − 12 > 0 Δ = 16 + 48 = 64 ⇒ √Δ=8 m = −2 ⋁ m = 6 Czyli nasze m ∊ (−∞, −2) ∪ (6, ∞) No i z klucza wynika, że m ma ejszcze spełniać warunki: m > 0 ⋀ m > −3 Z czego wychodzi m ∊ (6, ∞) Policzyć to wszystko umiem, ale jak pisałem, nie do końca rozumiem co liczę

ICSP: sam napisałeś : t ≥ 0 Czyli liczby t₁ i t₂ musza być liczbami dodatnimi. Warunki t₁ + t₂ > 0 i t₁t₂ > 0 to gwarantują

Patryk: Ale to się robi takie masło maślane, jest to konieczne?

Patryk: i ską wynika, że m musi być większe od −3?

52: No tak aby były cztery pierwiastki, to t musi być większe od 0... a te warunki to powodują t₁+t₂>0 i t₁t₂>0

52: a liczyłeś z wzorów Viete'a t₁+t₂ i t₁t₂ i sprawdzałeś to ?

Patryk: Nie... jak mogłem nie pomyśleć o tym, ehh...

Patryk: Zgadza się, ale nadal nie rozumiem idei dawania tych warunków, bo przecież jak t ma być dodatnie, to jest oczywiste, że suma t₁ i t₂ oraz iloczyn będą dodatnie, więc po co to pisać?

52: Nie takie oczywiste jeśli masz wyliczyć parametr m

52: Równie dobrze mógłbyś pomyśleć i dać warunki t₁+t₂>0 i t₁t₂>0 i nie liczyć Δ, bo skoro jest t₁ i t₂ to będzie to oczywiste że Δ>0, tylko że nie wiesz dla jakiego m w tym przypadku, a jak wstawisz sobie m do równania i wyliczyć to ma być spełniony każdy możliwy warunek

Patryk: Niech tak będzie porobię parę innych przykładów i zobaczę jak mi z tym idzie, jak coś pewnie znowu się odezwę na tym forum. Dzięki wielkie i pozdrawiam!

Patryk: Dany jest Wielomian W(x) = (x−3)(x² + 4x −5m −4). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których ten wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek. Δ < 0 ⋁ ( Δ = 0 ∧ x₀ = 3 ) Wyliczyłem z delty, że m < ⁸₅ W odpowiedzi jest, że z drugiego warunku wychodzi zbiór pusty. Jak to udowodnić? Wyliczam współrzędną p wierzchołka? Czyli

	−b		−4
p=		=		= −2
	2a		2

−2 ≠ 3 Tak?

Patryk: :(

5-latek: jeden pierwiastek juz masz x=3 wobec tego drugie rownanie nie moze miec rozwiazan a wiec Δ<0

Patryk: Nie o to pytałem

J:

	8
z drugiego warunku ( Δ = 0 ) masz: m = −		i teraz sprawdź,
	5

czy x = 3 nie jest przypadkiem miejscem zerowym przy takim m