Pochodna Pochodna: Uprzejmie proszę o pomoc w policzeniu pochodnej funkcji x²|cos(¹_x)| w zerze (czyli chcę policzyć f'(x) dla x=0). Oto moja próba: (x²|cos(¹_x)|)' = (x²)'|cos(¹_x)| + x²(|cos(¹_x)|)' i nie wiem, czy mogę teraz podstawić x = 0, gdyż otrzymałbym (0²)'|cos(¹₀)| + 0²(|cos(¹₀)|)'. Nie mam pojęcia jak pociągnąć to dalej... No i druga, trudniejsza część − należy pokazać, że dowolnie blisko zera powyższa funkcja ma punkty nieróżniczkowalności. Wskazówka − rozważyć f(¹_x). Będę wdzięczny za pomoc, pozdrawiam

PW: Chcesz liczyć pochodną w punkcie x₀ = 0, który nie należy do dziedziny?

Pochodna: Odnośnie zadania: Miałem dodatkowo podane, że f(0) = 0. Treść mówi: wykaż, że f'(0) = 0. Czy teraz zmienia to postać rzeczy? + dlaczego nie jest ciągła?

PW: Zasadniczo zmienia, teraz jest sensowne pytanie czy istnieje pochodna w zerze, czyli granica dla h→0 wyrażenia

f(0+h) − f(0)		f(h)		1   h2cos   h		1
	=		=		= hcos		.
h		h		h		h

Granica ta jest rzeczywiście równa 0, co wynika z faktu, że pierwszy czynnik dąży do 0, a drugi jest ograniczony.

PW:

	1
Przepraszam, ale nie widziałem tych kreseczek, w definicji jest moduł cos		, co nie
	x

zmienia w zasadniczy sposób dowodu, trzeba go po prostu dopisać.

Pochodna: Jasne, wielkie dzięki Jakieś pomysły na drugą część?

Pochodna: I jeszcze miałbym pytanko − dlaczego, bez założenia, funkcja byłaby nieciągła w zerze?

PW: Nie miałaby po prostu wartości, nie byłaby określona w tym punkcie. Nie ma wartości − nie pytamy o ciągłość, ani tym bardziej różniczkowalność (w obu definicjach zakłada się, że punkt x₀ należy do dziedziny funkcji f). Jeżeli x₀ jest takim pojedynczym punktem, wokół którego funkcja jest określona, to czasami udaje się "dodefiniować" wartość f(x₀) w sposób sztuczny − wzór nie pozwala liczyć wartości w x₀ (tak jest w tym zadaniu), ale osobno definiujemy f(x₀), tak żeby funkcja była ciągła. Jeżeli udało się osiągnąć ciągłość, to można pytać o różniczkowalność w tym punkcie. Znacznie łatwiej było osiągnąć odpowiedź wprost z definicji pochodnej, niż stosując "z lewej i z prawej" wzory na pochodne, dlatego tak to zrobiłem. W drugiej części pytają o punkty "nieróżniczkowalności", a nie o punkty nieciągłości (zdaje się jakbyś mylił te pojęcia). Są funkcje ciągłe w punkcie, które nie mają w tym punkcie pochodnej, np, g(x) = |x| jest ciągła, a w x₀ = 0 pochodnej nie ma.

Pochodna: Jak intuicyjnie wyobrażać sobie różniczkowalność? I dlaczego tutaj, blisko zera, nie ma punktów różniczkowalności?

Jacek:

	π
Ze względu na znak wartości bezwzględnej. cos(y) przechodzi przez oś Ox, dla y=		+kπ.
	2

	π
Dla naszej funkcji 1/x=		+kπ , gdzie k={C}. W tych miejscach o Wartość Bezwzględna będzie
	2

odbijać funkcję, powodując zanik różniczkowalności. Chyba.

Jacek: Narysuj sobie: http://www.matemaks.pl/program-do-rysowania-wykresow-funkcji.php

	2		2
zobacz, że odbija na "ostro" np. w x=		lub x=
	3π		π

Jacek: Zaznacz opcję rysuj pochodne to zobaczysz ile jest punktów bez ustalonej pochodnej (można chyba powiedzieć nieciągłości pochodnej, prawda?).

Pochodna: Jasne, dzięki. Tylko jak ogarnąć to "formalnie"?

Jacek: Też chętnie poczekam...na formalności jedyne co mi przychodzi do głowy do pokazać, że lewostronna pochodna jest inna niż prawostronna względem danego punktu...a np. w 1/x, gdzie x→0 mamy (cos(+∞))' − chyba jest nieokreślone

Pochodna: Oczywiście ¹_x przy x → 0 rozbiega do ±∞. Ciągi postaci ^π₂ + kπ dla k ∊ ℤ również... Stąd zbliżając się z x−em do zera, mamy nieskończenie wiele punktów nieróżniczkowalności (bo, jak mówiłeś, wartość bezwzględna odbija funkcję kosinus). Chyba powinno wystarczyć? Jak pokazałbyś "różność" pochodnych prawo i lewostronnych w tych punktach? I pytanie ogólne − jeśli pochodna prawo i lewo−stronna istnieją, są skończone i takie same co do wartości, to czy pociąga to za sobą istnienie "zwykłej" pochodnej?

Jacek: Zasadniczo, z tego co wiem, to są dwa osobne zagadnienia: 1. istnienie pochodnej w danym punkcie 2. istnienie pochodnych obustronnych identycznych co do wartości

Pochodna: Czyli to nie jest tak, że jeśli mamy takie same pochodne lewo i prawostronne, to tyle też wynosi "zwykła" pochodna?

Jacek: Powiedzmy tak:

	⎧	dla cosx≥0 f'(x)=−sinx
(|cosx|)'=	⎩	dla cosx<0 f'(x)=sinx

	π		π
W okolicach		pochodna skokowo zmienia się z −sinx w sinx, w		pochodna lewostronna
	2		2

dąży do −1, z prawostronna dąży do +1

Jacek:

	x2
Weź sobie, rozpatrz f(x)=		. x≠0, pochodnej w punkcie x=0 moim zdaniem nie ma, natomiast
	x

jest skończona granica obustronna zarówno dla funkcji jak i pochodnej.

Pochodna: Dla tej funkcji nie istnieje pochodna lewo− i prawo−stronna. W zerze nie jest określona.

Jacek:

	f(x+dx)−f(x)
lim x→0− f'(x) =
	dx

dx→0

	f(x+dx)−f(x)
lim x→0+ f'(x) =
	dx

dx→0 Tak to chyba będzie wyglądać, a więc:

	x+dx−x
lim x→0− f'(x)=		=1
	dx

dx→0

	x+dx−x
lim x→0+ f'(x)=		=1
	dx

dx→0

Pochodna: Źle podstawiasz...