Szeregi Draghan: Szeregi. Kiedy mam szereg naprzemienny ∑^∞_{n = 1} (−1)ⁿ*a_n, to szereg modułów obejmuje również składnik (−1)ⁿ? A wyraz ogólny tego szeregu ∑^∞_{n = 1} (−1)ⁿ*a_n to tylko składnik a_n? Bo na ćwiczeniach dziś wszystko mi się pomieszało. Prowadząca zapisała (nie po kolei, ale w jednym zadaniu) takie trzy cosie: (1) ∑^∞_{n = 1} (−1)ⁿ*a_n (2) Wyraz ogólny dla szeregu (1) to tylko a_n (to było używane w badaniu zbieżności z tw. Leibniza) (3) szereg modułów dla szeregu (1) to ∑^∞_{n = 1} |(−1)ⁿ*a_n|

Godzio: Badając bezwzględną zbieżność nakładasz moduł na wszystko (tak jak to zrobiłeś w (3) ). W kryterium Leibniza bada się tylko monotoniczność (a dokładnie malenie) ciągu a_n (bo wiadomo, że szereg naprzemienny nie będzie monotoniczny)

Draghan: Dziękuję bardzo! Bo myślałem, że coś źle robię, albo że źle rozumiem, albo że źle zanotowałem. ...swoją drogą najbardziej zbiła mnie z tropu chwila: "− no to państwo zapiszą wyraz ogólny szeregu... (...) − ale ma być bez (−1)ⁿ"... Bo jak dotąd myślałem, że wyraz ogólny szeregu to wszystko "pod sigmą".

Draghan: Jeszcze trochę niepewności. Opracowuję sobie notatki z wykładu i nie jestem pewien, czy dobrze oznaczam. Znów chodzi o to samo: czy pisać z tą (−1)ⁿ. W definicji zbieżności bezwzględnej: "Jeśli szereg modułów jest zbieżny i szereg naprzemienny jest zbieżny, to szereg naprzemienny jest zbieżny bezwzględnie". <− tak nieszczęśnie sobie zanotowałem na wykładzie... Czy tam na czerwono chodzi o zbieżność szeregu z (−1)ⁿ, czy bez tego?

Draghan: ...chociaż, jak się nad tym zastanowić... To chyba z tym (−1)ⁿ, bo przecież jak wrzucam ten szereg w moduł, to powstaje szereg bez tego składnika... Ale może ktoś potwierdzić?

Godzio: Tak Szereg: ∑(−1)ⁿa_n Szereg modułów: ∑|(−1)ⁿa_n| = ∑|a_n| −− jeśli ten szereg jest zbieżny to szereg naprzemienny również.

Draghan: To już wiem z Twojej pierwszej odpowiedzi. Teraz szło mi o to, czy przy zbieżności bezwzględnej, oprócz szeregu modułów należy zbadać zbieżność szeregu: 1) ∑a_n czy 2) ∑(−1)ⁿa_n...? Obstawiam to drugie, ale pewności 100% nie mam.

Godzio: Zbieżność bezwzględna to badanie zbieżności szeregu modułów, które nakładamy na cały ciąg (razem z (−1)ⁿ). Jeżeli nie nakładamy modułu to jest to tylko zwykła (warunkowa) zbieżność, a sprawdzamy to w zależności od polecenia. Jeżeli polecenie pyta nas o zbieżność bezwzględną, to warunkowa nas nie interesuje. Pamiętaj, że zbieżność bezwzględna implikuje warunkową

Draghan: Hmmm... To w takim razie po co mi definicja z 10.03 21.27? No ale okej, już wiem, co chciałem wiedzieć. Dziękuję po raz kolejny.

Godzio: Nie mam pojęcia. Jeśli szereg modułów jest zbieżny to szereg naprzemienny też jest zbieżny

Draghan: To było twierdzenie (chyba), a była też właśnie tamta definicja. Na wykładzie podana. Więc zanotowałem, myślałem że to Bardzo−Ważna−Sprawa.