Planimetria martynka21: Siema, mam zadanie z którym nie mogę sobie poradzić: Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC, α jest dwukrotnie większa od β, to a² − b² = bc

Mariusz: Z twierdzenia cosinusów a²=b²+c²−2bc cos2β b²=a²+c²−2ac cosβ Z twierdzenia sinusów

a		b
	=
sin{2β}		sin{β}

a		b
	=
2sin{β}cos{β}		sin{β}

a
	=b
2cos{β}

PW: Kąty trójkąta to: 2β, β i 180°− 3β. Z twierdzenia sinusów wynika zatem

	a		b		c
		=		=		.
	sin2β		sinβ		sin(180°− 3β)

Wykorzystanie tych związków do obliczenia a² − b² oraz bc powinno dać dowód.

martynka21: Wiem że powinny dać, nie wiem tylko jak do tego dojść przekształceniami

Mariusz: Z twierdzenia cosinusów masz a²=b²+c²−2bc cos(2β) b²=a²+c²−2ac cos(β) Z twierdzenia sinusów masz a=2bcos(β) (pokazałem już to wcześniej) Jeśli teraz odejmiesz stronami to co otrzymałaś z twierdzenia cosinusów i rozwiniesz cos(2β) (ze wzoru na cosinus sumy lub od razu z wielomianów Czebyszowa) a²=b²+c²−2bc (2cos²(β)−1) b²=a²+c²−4bc cos²(β) a²=b²+c²−4bc cos²(β) +2bc b²=a²+c²−4bc cos²(β) a²−b²=b²−a²+2bc a²−b²=−(a²−b²)+2bc 2(a²−b²)=2bc (a²−b²)=bc

martynka21: Tyle, że muszę do dowieść z twierdzenia sinusów, cosinusów nie miałem jeszcze.

Mariusz: Z wzoru skróconego masz a²−b²=(a−b)(a+b) Ze wzoru sinusów , wzoru redukcyjnego wzoru na sinus i cosinus sumy

a		b
	=
sin(2β)		sin(β)

Z tego obliczasz a

a		c
	=
sin(2β)		sin(3β)

Z tego też obliczasz a

b		c
	=
sin(β)		sin(3β)

Z tego obliczasz b

pigor: ..., wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC, α jest dwukrotnie większa od β, to a²−b²= bc. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− no to z warunków zadania i tw. sinusów masz a=2Rsinα= 2Rsin2β i b=2Rsinβ i c=2Rsin(180^o−3β)= 2Rsin3β, to L= a²−b² = 4R²sin²2β−4R²sin²β= 4R²(sin²2β−sin²β) = = 4R²(sin2β+sinβ) (sin2β−sinβ) i teraz z wzorów na sumę lub różnicę sinusów sinα ± sinβ = .... masz w tablicach otrzymujesz = 4R² * 2sin¹₂3β cos¹₂β * 2sin¹₂β cos¹₂3β = = 4R² * (2sin¹₂β cos¹₂β) * (2sin¹₂3β cos¹₂3β) = = 2Rsinβ * 2Rsin3β = bc = P c. n.w. ...