Równania wielomianowe z parametrem. Metis: Cześć Potrzebuję Waszej pomocy. Nie jestem pewny warunków i zapisu 1) Dla jakich wartości parametru p (p∊R) równanie (x+1)[x²+(p+2)x+(p−1)²]=0 ma tylko jedno rozwiązanie. Widzi się, że jednym z rozwiązań równania jest liczba −1. Zatem,aby równanie miało jedno rozwiązanie to równanie kwadratowe [x²+(p+2)x+(p−1)²]=0 musi spełniać warunek Δ<0 lub mieć pierwiastek równy −1. 1^o. Δ<0 2^o. Δ>0 f(−1)=0

J: 2⁰: Δ ≥ 0

J: oczywiście w 2⁰: f(−1) = 0 aktualne

Metis: Możesz wyjaśnić ?

J: może być: Δ = 0 i jedno miejsce zerowe: x = − 1

Metis: Okey No to kolejne: 2) Dla jakich wartości parametru p(p∊R0 równanie (x−3)[x²−2(2p+1)x+(p+2)²] ma dwa różne rozwiązania. Widzi się, że jednym z rozwiązań równania jest liczba 3. Zatem, aby równanie miało 2 różne rozwiązania równanie kwadratowe x²−2(2p+1)x+(p+2)² musi spełniać warunki: 1^o Δ=0 x≠3 2^o Δ>0 f(3)=0 I nie wiem jak poprawnie zapisać słownie warunek 2

prosta: gdy Δ>0 to mogą istnieć dwa różne pierwiastki, wśód nich x=−1...trzeba to wykluczyć

Metis: x²−2(2p+1)x+(p+2)² No to po pierwsze może mieć 2 rozwiązania. Czyli Δ>0 i wykluczamy x=3 Może mieć jedno rozwiązanie: Δ=0, którego rozwiązaniem nie może być x=3 Zatem: 1^o. Δ=0 x≠3 2^o. Δ>0 x≠3 Okey teraz?

Metis: Ale brakuje jeszcze jednego bo jeśli w 2^o otrzymamy 2 różne rozwiązania to razem całe równanie spełniać bedą nie dwa a trzy rozwiązania.

Metis: Wydaje mi sie ze początkowy warunek który napisałem jest w porządku...

J: Δ ≥ 0 i f(−3) ≠ 0

Metis: J a co jeśli otrzymam 2 różne rozwiązania którym nie jest x=3 ?

prosta: Wyjaśnienie do 14.42 nawiązanie do pierwszego zadania: f(−1)=0 ⇔ p=0 lub p=3 dla p=0 otrzymujemy: x²+2x+1=0 ⇔x=−1 dla p=3 otrzymujemy : x²+5x+4=0 ⇔ x=−1 lub x=−4 ostatecznie: p=0

Metis: Dlaczego piszesz f(−1)=0 , skoro jednym z pierwiastków mojego równania jest x=3...

prosta: przecież nawiązuję do pierwszego zadania. Podobnie można postąpić w drugim.

Metis:

prosta: f(3)=0 ⇔ p=1 lub p=7 dla p=1 otrzymujemy: x²−6x+9=0 ⇔x=3 dla p=7 otrzymujemy: x²−30x−81=0 ⇔ x=3 lub x=27

Metis: Chodzi mi tylko o poprawnie zapisanie warunków. Z rozwiązaniem sobie poradzę. Zatem jakie warunki do 2) ?

prosta: 14.40 : a co do warunków to może :x₁+x₂≠6 ⇔ 2(2p+1)≠6 ⇔p≠1

Metis: 14:40 warunek mam dobry... Jeśli Δ>0 i f(3)=0 to równanie będzie miało 2 rozwiązania, z których jedno jest równe 3...

Metis: 3) Wyznacz te wartości parametru p(p∊R), dla których równanie (x²−x−2)[x²+(m−3)x+1]=0 Pierwszy dwumian jaki i drugi muszą mieć 2 rozwiązania zatem dla obu Δ>0 Ich rozwiązania nie mogą sie powtarzać. Jak sprowadzić to do warunków ?

prosta: skąd wobec tego te wątpliwości o 14.48 "Metis: Ale brakuje jeszcze jednego bo jeśli w 2^o otrzymamy 2 różne rozwiązania to razem całe równanie spełniać będą nie dwa a trzy rozwiązania."

prosta: Jaka jest pełna treść zadania 3) ?

Metis: Źle zrozumiałem twój post 14:42 Mniejsza o to, zerknij na 3.

Metis: Zjadłem Poprawiam: 3) Wyznacz te wartości parametru p(p∊R), dla których równanie (x²−x−2)[x²+(p−3)x+1]=0 ma 4 różne rozwiązania.

prosta: Ile rozwiązań ma mieć równanie w zad.3 ?

prosta: ma już dwa rozwiązania: x=−1 oraz x=2, brakuje dwóch różnych stąd: 1. Δ>0 2. f(−1)≠0 3. f(2)≠0

Metis: Okey rozumiem Kolejne: 4) Wykaż, że dla każdej wartości m równanie x³ +x +m²x=m²+x²+1 ma tylko jedno rozwiązanie.

Metis: Zacząłem to porządkować, ale nie wiem do jakiej postaci sprowadzić by pokazać to o co nas proszą.

prosta: może uda się sprowadzić jakoś taj, jak w poprzednich...(x−1)(.......)=0

Metis: m² x−m²+x³−x²+x−1 = 0 m²(x−1)+(x−1)(x²+1)=0 (x−1)(m²+x²+1)=0 Widać, że rozwiązaniem jest liczba 1. Zatem,aby równanie miało jedno rozwiązanie, równanie m²+x²+1 nie może mieć rozwiązań. Zatem delta < 0

Metis: Lub Δ=0 gdzie x=1

Metis: W porządku ?

prosta: x²+m²+1>0 niezależnie od m... (Δ<0)

prosta: Popatrz na polecenie

Metis: Racja Na razie robię kolejne Wrzucę potem do sprawdzenia.

Mimi : Rozłoż na czynniki wyrażenie : : a) x2+6x b) x2−25 c) x2−3

Metis: Otwórz kolejny post...

Metis: 5) Dla jakich wartości parametru m równanie (m+2)x³−2x²+(m+3)x=0 ma trzy różne rozwiązania. (m+2)x³−2x²+(m+3)x=0 x[(m+2)x²−2x+m+3)=0 Widzi się, że jednym z rozwiązań równania jest liczba x=0. Zatem, aby równanie miało 3 różne rozwiązania, dwumian (m+2)x²−2x+m+3)=0 musi mieć 2 różne rozwiązania Zatem Δ>0 oraz x≠0 Warunek wystarczający? 6) Dla jakich wartości parametru m równanie x³−2(m+1)x²+(2m²+3m+1)x=0 ma trzy rozwiazania z których dwa są dodatnie x³−2(m+1)x²+(2m²+3m+1)x=0 x(x²−2(m+1)x+2m²+3m+1)=0 Widzi się, że jednym z rozwiązań równania jest liczba x=0. Zatem, aby równanie miało 3 rozwiązania, z których 2 są dodatnie dwumian (m+2)x²−2x+m+3)=0 musi mieć 2 rozwiązania dodatnie. Zatem Δ>0 , x₁*x₂>0 i x₁+x₂>0

Eta: ok

Metis: Dziękuje

Eta: Powodzenia na sprawdzianie

Metis:

prosta: Widzi się, że jednym z rozwiązań równania jest liczba x=0. Zatem, aby równanie miało 3 rozwiązania, z których 2 są dodatnie dwumian.... ...trójmian....

Metis: Racja

Metis: Czy poniższy zapis jest poprawny? Nie wiem jak inaczej to pokazać, mimo tego że rozwiązanie jest jasne. Wykaż, że wielomian W(x)=x⁶+x⁴+2x² dla kazdego x przyjmuje wartości nieujemne. 1) x∊(−∞,0) 2) x=0 3)x∊ (0,+∞) Jeśli x∊(−∞,0) to wielomian przyjmuje wartości nieujemne ponieważ liczba ujemna, czyli liczba z przedziału (−∞,0) podniesiona do potęgi parzystej staje się liczbą dodatnią. Suma liczba dodatnich jest liczbą dodatnią. Jeśli x=0 to wielomian jest równy 0. Zatem dla x=0 przyjmuje wartości nieujemne. Jeśli x∊ (0,+∞) to wielomian przyjmuje wartości nieujemne ponieważ liczba dodatnia, czyli liczba z przedziału (0,+∞) podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Suma liczba dodatnich jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdego x wielomian przyjmuje wartości nieujemne

Metis: Nie chce mi wyjść : Wyznacz te wartości parametru m dla którego równanie x⁴−2(m−5)x²+4m²=0 ma 4 różne rozwiazania. x⁴−2(m−5)x²+4m²=0 x²=t t²−2(m−5)t+4m²=0 I nic nie mogę wyłaczyć

pigor: ..., równanie to ma 4 różne rozwiązania jeśli Δ=4(m−5)²>0 i 2|(m−5) >0 i 4m² >0 ⇔ ⇔ m≠5 i m >5 i m∊R ⇔ m>5 ⇔ m∊(5;+∞).

Metis: Możesz wytłumaczyć?

Metis:

ICSP: x⁶ + x⁴ + 2x² = x²(x⁴ + x² + 2) ≥ 0 jako iloczyn dwóch liczb z których jedna jest liczbą nieujemną a druga liczbą dodatnią.

Metis: Dziękuje A na to kolejne coś poradzisz?

ICSP: t = x² , i warunki : 1^o Δ > 0 2^o t₁ + t₂ > 0 3^o t₁*t₂ > 0

Metis: Dzięki