ciągłość funkcji magda: Wykazać, że funkcja ciągła i różnowartościowa na [a,b] jest monotoniczna.

PW: Nie wprost. Dla ustalenia uwagi weźmy trzy punkty x₁ < x₂ < x₃ i niech (1) f(x₁) < f(x₂), ale f(x₂) > f(x₃). Przesuwając odpowiednio wykres wzdłuż osi OY łatwo doprowadzić do takiego położenia, że nowa funkcja g = f + C ma własność (2) g(x₁) < 0, g(x₂) > 0 i g(x₃) < 0. Na mocy tw. Darboux oznaczałoby to, że zarówno w przedziale (x₁, x₂) jak i w przedziale (x₂, x₃) są miejsca zerowe ciągłej funkcji g. Funkcja g osiągałaby wartość 0 co najmniej w dwóch punktach, a powinna być różnowartościowa (różni się od f o stałą). Otrzymana sprzeczność oznacza, że przypuszczenie (1) jest fałszywe − musi być f(x₃) > f(x₂). Warto zrobić rysunek f z założeniem (1) i g spełniającej warunek (2).

magda: Bardzo dziękuję!