geometria- proszę o sprawdzenie Karolina: Proszę o sprawdzenie mojego toku rozumowania: treść zadania: Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego wynosi 75 stopni, a obwód 20cm. Muszę obliczyć jego pole. Zauważam, że kąt wierzchołkowy ma miarę 30 stopni i czy teraz mogę wykorzystać sin30 stopni do wyliczenia dlugosci bokow? czy mozna go wykorzystywac tylko w trojkacie prostokatnym?

Karolina: Tak samo mamy wzor na pole trojkata P=¹₂*a*b*sinγ czyli kąt nie musi być prosty? Czy źle rozumuję?

Karolina: Wynik mi wychodzi z różnicą około 0,2.. i nie wiem czy to przypadek...

kleszcz: Jak sobie dorysujesz wysokość to masz dwa trójkąty prostokątne po 15 stopni i teraz możesz wykorzystać. Tylko nie masz długości boków, kurde sam szczerze mówiąc nie wiem o co chodzi, może podstaw pod wzór Herona połowę obwodu i wylicz pozostałe wartości tylko nie wiem czy tak można je wyliczyć bo w życiu czegoś takiego nie robiłem .

PW: W każdym, ale nie tak bezpośrednio jak w prostokątnym. Tu można np. zastosować twierdzenie cosinusów. Podstawa długości a, ramiona kąta b. a = 20−2b (z treści zadania) a² = b² + b² − 2·b·bcos30° (twierdzenie cosinusów)

	√3
(2(10−b))2 = 2b2(1−		)
	2

− rozwiązać równanie kwadratowe. Mając b łatwo policzymy pole S według wzoru:

	1
S =		b·b·sin30°
	2

	b2
S =
	4

Karolina: Dziękuję Wam bardzo za odpowiedzi Zastanawiam się tylko, ponieważ to jest zadanie podstawy i nie ma w podręczniku nic o twierdzeniu cosinusów trochę mnie martwi, czy mogłoby się znaleźć takie zadanie na maturze podstawowej z matmy, a np. widziałam taki sposób, że ktoś zamiast liczyć do kąta 75stopni podzielił go sobie na 45stopni i 30stopni tez tak mozna? Przy okazji chciałam się jeszcze zapytać o jedną rzecz: mianowicie umiem sprawdzać, czy ciąg jest rosnący, stały czy malejący, ale czy da radę sprawdzić czy jest nierosnący albo niemalejący?

Karolina: A jeszcze chciałam dopytać, ponieważ napisałeś: nie tak bezpośrednio jak w prostokątnym, czyli dlaczego w sumie można stosować wzor na pole trójkąta P=¹₂*a*b*sinγ dla każdego trójkąta?

PW: Jeżeli podzielisz trójkąt na trzy mniejsze − tak żeby kąt 75° był podzielony na 60° i 15°, to wszystkie trzy odcinki wewnątrz trójkąta będą przystające (tworzą się trzy trójkąty równoramienne o ramionach długości a). Stosując trzy razy ten wzór na pole trójkąta otrzymamy (1) S = a²sin60° + 2·a²sin120° − dostaniemy wzór na pole dużego trójkąta zależny tylko od a. Stosując jeszcze raz wzór na pole dużego trójkata − tym razem o ramionach b i kacie miedzy nimi 30°otrzymamy (2) S = b²sin30° − wzór zależny tylko od b. Porównanie (1) i (2) pozwoli znaleźć związek między a i b, drugi związek mamy w treści zadania: a+2b = 20. W ten sposób wyliczymy z układu równań a i b (potrzebna nam jest tylko jedna z tych liczb, np. b, żeby ją podstawić do wzoru (2)).