Wykaż że liczba 12321^32 - 1 jest podzielna przez 10 in.: Wykaż że liczba 12321³² − 1 jest podzielna przez 10 12321³²− 1=12321³² − 12321⁰ chciałam tak to zrobić ale to mi nic nie daje

Eta: Liczba kończąca się jedynką po podniesieniu do każdej naturalnej potęgi też kończy się jedynką to liczba 12321³²−1 −−− kończy się zerem ⇒ wniosek .......

Jacek: Może dwumianem Newtona:

	32 0		32 1		32 32
(12320+1)32=		*1232032+		*1232031*11+.....+		*123200*132

	32 31
Przedostatni wyraz:		*123201*131=32*12320 ( a więc podzielny przez 10)

	32 32
Ostatni wyraz:		*123200*132=1

, zatem liczba (12320+1)³² ma na ostatniej cyfrze 1. Po odjęciu 1, mamy podzielność 12321³²− 1 przez 10

Jacek: źle mi potęgi wyświetliło, powinno być 12320³2, 12320³1 etc

Eta: Po co "wyciągać armatę"? do zabicia małej muszki

Jacek: no i znowu 12320³², na podglądzie mam prawidłowo, że do 32 potęgi

Eta:

kyrtap: Eta rozwalasz

PW: No to na złość mamie z działa wystrzelimy: 12321 = 111², a więc badana liczba ma postać 111⁶⁴ − 1 = (111³² − 1)(111³² + 1) = (111¹⁶−1)(111¹⁶+1)·k₁ = = (111⁸−1)(111⁸+1)·k₂·k₁ = (111⁴−1)(111⁴+1)·k₃·k₂·k₁ = = (111²−1)(11²+1)·k₄·k₃·k₂·k₁ = = (111−1)(111+1)·k₅·k₃·k₂·k₁ = 100·112·k, gdzie k, k_j są pewnymi liczbami naturalnymi. Wniosek: Badana liczba dzieli się nie tylko przez 10, ale i przez 100, i przez ...

Jacek: Powinno być 110*112*k=12320*k, przy rozwinięciu dwumianem w przedostatnim wyrazie wyszło 32*12320=394240, trzecim od końca jest 1505681*10⁶, a więc jestem przekonany, że cała liczba 12321³² ma na końcu 41.

Eta: Jacek "uparciuch"

PW: Masz rację, ze 110 zrobiłem 100, a jest to efekt, niestety, postępującej utraty wzroku (piszę trochę na wyczucie, a nigdy sztuki bezwzrokowego pisania nie opanowałem dobrze). Zawsze byłem "wzrokowcem", a tu ... (brzydkie wyrazy). Nie widzę, że co innego zacząłem, a co innego jest na końcu.