analityczna Johnson: Jeden z boków kwadratu ABCD jest zawarty w prostej 2x−y−2=0. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków i pole wiedząc, że A=(1;5) Obliczyłem odległosc punktu A od prostej.Wynosi √5.Ale nie wiem jak mam wyznaczyc kolejne wierzchołki...

Johnson: jakby jeszcze któś mógł spojrzec i na to zadanie : Na prostej x−3y−6=0 znajdź wszystkie punkty C takie, że trójkąt o wierzchołkach A=(−1;−1), B=(3;1), C jest trójkątem prostokątnym.

Nikka: Zadanie 1. Zacznij od rysunku. Znajdziemy równanie prostej k prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A, punkt przecięcia tych prostych będzie kolejnym wierzchołkiem kwadratu. Równanie szukanej prostej k to y=ax+b. Prosta z zadania w postaci ogólnej to y = 2x −2.

	1
Skoro proste te muszą być prostopadłe to a*2 = −1 → a = −
	2

	1
y = −		x + b
	2

	1		11
A∊k czyli 5 = −		*1 + b → b =
	2		2

	1		11
k: y = −		x +
	2		2

Rozwiązujemy układ równań:

	1		11
y = −		x +
	2		2

y = 2x −2 Stąd x = 3, y = 4 czyli kolejny wierzchołek kwadratu np. B = (3,4)

Nikka: myślę co dalej

Nikka: kolejny wierzchołek − niech będzie C(x_c, y_c): Punkt C należy do prostej 2x − y − 2 = 0 czyli 2x_C − y_C − 2 = 0 Odległość punktu C od prostej k jest równa √5 czyli długość odcinka |BC| jest równa √5. |BC| = √(x_C−x_B)²+(y_C−y_B)²) Rozwiązujemy układ równań: 2x_C − y_C − 2 = 0 |BC| = √(x_C−3)²+(y_C−4)²) ( bo B=(x_B,y_B) = (3,4) ) Otrzymamy dwa rozwiązania : x_C = 2 i y_C =2 lub x_C = 4 i y_C = 6 C = (2, 2) lub C = (4, 6)

Nikka: Pozostało znaleźć współrzędne ostatniego wierzchołka D=(x_D, y_D).

	1		11
Znajdźmy równanie prostej l: y = cx + d równoległej do prostek k: y = −		x +
	2		2

	1
l || k → c = −
	2

	1
czyli y = −		x + d
	2

	1		1
C∊l → 2 = −		*2 + d lub 6 = −		*4 + d → d = 3 lub d = 8
	2		2

Stąd l ma postać:

	1		1
y = −		x + 3 lub y = −		x + 8
	2		2

	1		1
Punkt D∊l czyli yD = −		xD + 3 lub yD = −		xD + 8
	2		2

oraz |AD| = √5 Podobnie jak przy obliczaniu wierzchołka C :

	1
yD = −		xD + 3
	2

√(y_D − y_A)² + (x_D − x_A)² = √5 lub

	1
yD = −		xD + 8
	2

√(y_D − y_A)² + (x_D − x_A)² = √5 Podstaw współrzędne punktu A i rozwiąż oba układy równań. Z każdego układu otrzymasz po jednym punkcie D (po przekształceniach Δ = 0 w obu przypadkach). D= (x_D, y_D) = (3, 0) lub D = (x_D, y_D) = (2, 7)

Nikka: Co do zadania drugiego to po zrobieniu rysunku możemy mieć trzy możliwości: 1^o |∡A| = 90^o (kąt przy wierzchołku A będzie prosty) 2^o |∡B| = 90^o (kąt przy wierzchołku B będzie prosty) 3^o |∡C| = 90^o (kąt przy wierzchołku C będzie prosty) teraz muszę uciekać, będę po południu to spróbuję rozwiązać