O ciągłości funkcji odwrotnej... BraciaRatujcie: O ciągłości funkcji odwrotnej... W powyższym twierdzeniu wymagany jest dodatkowy warunek: dziedzina ma być PRZEDZIAŁEM. Dlaczego tak jest? Czy w przypadku ciągów (których dziedziną jest zbiór N, tudzież "nie−przedział"), przytoczone twierdzenie nie zachodzi?

BraciaRatujcie: UP

PW: W definicji funkcji ciągłej w punkcie x₀ jest założona możliwość "podchodzenia z argumentami dowolnie blisko punktu x₀". Funkcja o której piszesz nie jest więc ciągła − nie ma o czym mówić.

BraciaRatujcie: Funkcja jest ciągła wtw jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dziedziną ciągu jest zbiór N. Ponadto, z definicji ciągłości w punkcje: jeśli pkt. a należy do dziedziny, ale pkt. a nie jest punktem skupienia owej dziedziny, to funkcja jest ciągła w tym pkcie. a. Stąd w szczególności − dowolny ciąg jest funkcją ciągłą w każdym z punktów z dziedziny, a zatem jest funkcją ciągłą.

PW: Formalnie skłonny byłbym się zgodzić, gdy się patrzy na definicję. Tylko po co mówić o ciągłości funkcji o "rzadkiej" dziedzinie? Pojęcie ciągłości ma sformalizować intuicyjne pojęcie niewielkiej zmiany wartości dla niewielkiej zmiany argumentu. Tutaj niewielkiej zmiany argumentu być nie może, zmiany są skokowe, więc mówienie o ciągłości jest pewną paranoją teoretyczną. Przy takim podejściu funkcja odwrotna do ciągu, o ile istnieje, też jest ciągła − jej argumenty również są punktami "rzadkimi" na osi OY.

BraciaRatujcie: A co w przypadku takiej funkcji:

	⎧	0 dla n = 0
f(n) =	⎩	1n dla n > 0

Obraz ma punkt skupienia, a dziedzina nie...

BraciaRatujcie: Oczywiście mam na myśli funkcję, będącą ciągiem o wyrazach z (ℕ ∪ 0)

BraciaRatujcie: Aj, przepraszam, znowu nieścisłość... O wyrazach z ℛ, zbiór (ℕ ∪ 0) to oczywiście dziedzina.

BraciaRatujcie: Kolejna nieścisłość − dziedzina ma punkt skupienia (plus nieskończoność), a w tym przykładzie chodziło mi o to, że (ℕ ∪ 0) ma same punkty izolowane, czyli nie istnieje punkt z (ℕ ∪ 0) taki, do którego zbiegałby jakiś ciąg liczb naturalnych. Teraz powinieneś rozumieć o co mi chodzi

PW: Ej, widzę że od samego początku znałeś odpowiedź na pierwsze postawione pytanie. Podany przez Ciebie przykład jest właśnie "kontrprzykładem" do twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej. Jeżeli ciąg jest różnowartościowy i ciąg wartości ma punkt skupienia p, który jest w dodatku wartością ciągu dla pewnego n, to rzeczywiście funkcja odwrotna w punkcie p nie jest ciągła. Moja wypowiedź (ostatnie zdanie z 4 marca o 12:40) była więc nieprzemyślana, założyłem że zbiór wartości ciągu nie ma punktu skupienia.