Oblicz, dla jakich wartości parametrów a i b wielomian SmY: Oblicz, dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W(x) = x⁴ + ax³ + (a − b)x² + bx + 1 jest podzielny przez wielomian P(x) = (x+1)².

kasandra: Znasz pochodne ? .....

SmY: nie

SmY: nikt nie wie?

SmY: niech ktos podpowie bo naprawde nie wiem jak sie do tego zabrac. Jak widac dwumian (x+1)² ma tylko jedno miejsce zerowe, a niewiadome sa 2. Jesli juz nawet podloze x=−1, y=0 to a sie skroci, b wyjdzie −1 i tyle, nie mam wiecej danych, zeby robic jakis uklad rownan. A jak proboje robic normalne dzielenie, zeby zostala reszta z niewiadomymi, ktore moglbym przyrownac do 0, to nie wychodzi, bo niewiadome sa juz przy potedze 3, a dwumian, przez ktory dziele jest stopnia 2. Jak to zrobic?

SmY: b wyjdzie 1

Miś: Podziel przez x + 1 wyjdzie x³ + (a − 1)x² + 1 ten wielomian też musi mieć miejscr zerowe w x= −1 z tego wyliczysz a.

SmY: przeciez pisalem ze ma miejsce zerowe 2 x=−1, do tego jedyne. po za tym nie wiem skad sie wezmie x3 + (a − 1)x2 + 1 skoro jest ax³ czekam dalej na rozwiazanie

SmY: zamiast tej 2 tam ma byc "w"

Julek:

x4 + ax3 + (a − b)x2 + bx + 1
(x+1)2

z Twierdzenia Bezouta x⁴ + ax³ + (a − b)x² + b^x + 1 = 0 dla x=−1

	1
W(−1) = 1 − a + (a − b) +		+ 1
	b

	1
0 = − b +		+ 2 / * b
	b

0 = −b² + 2b + 1 Δ = 4 + 4 = 8 √Δ=√8

	−2+2√2
b1 =		= 1−√2
	−2

	−2−2√2
b2 =		= 1+√2
	−2

SmY: Julek, ale to nie jest b^x, lecz bx i podloz to sobie za b, zobaczymy czy wyjdzie bez reszty dalej wierze w kogos, kto to zrobi

Bogdan: W(x) = (x + 1)² * (x² + cx + d) = (x² + 2x + 1)(x² + cx + d) = = x⁴ + cx³ + dx² + 2x³ + 2cx² + 2dx + x² + cx + d = = x⁴ + (c + 2)x³ + (d + 2c + 1)x² + (2d + c)x + d 1 = d b = 2d + c = 2 + c a = c + 2 ⇒ a = b a − b = d + 2c + 1 ⇒ 0 = 1 + 2c + 1 ⇒ c = −1 a = b = 1 c = −1 d = 1 W(x) = x⁴ + x³ + x + 1 oraz W(x) = (x + 1)²(x² − x + 1)

SmY: genialne wielkie dzieki! czy to ma jakas matematyczna nazwe ten sposob?

Bogdan: Nie ma nazwy, przynajmniej ja takiej nie znam.

Eta: Podam rozwiązanie stosując r−k pochodnych ( może inni skorzystają) Jeżeli liczba x = −1 jest pierwiastkiem dwukrotnym W(x) to: W(−1)=0 i W^'(−1) =0 W(−1)= 1 −a +a −b −b +1= −2b +2 to −2b +2=0 => b= 1 W(x) = x⁴ +ax³ +(a−1)x² +x +1 W^'(x) = 4x³ +3ax² +2*(a−1)x +1 to: W^'(x) = − 4 +3a −2a +2 +1 = a −1 W^'(x) =0 => a−1=0 => a = 1 odp: a=1 i b =1

leniwiec: W'(x) = 4x3 +3ax2 +2*(a−1)x +1 <−−− a skąd toto się wzięło? SmY podał −−−>W(x) = x4 + ax3 + (a − b)x2 + bx + 1 What am I missing? Może ktoś mi tę,zapewnie oczywistą,rzecz wyjaśnić?

Eta: Wyraźnie napisałam " dla Tych, którzy znają rachunek pochodnych" bo W^'(x) = 4x³ +3ax² +2*(a−1)x +1 −−−−to pochodna wielomianu W(x)

leniwiec: okay patrzę,patrzę i nie widzę ale cosik jestem teraz bardziej wtajemniczona przynajmniej czy te pochodne mają coś wspólnego z różniczkowaniem?

Basia: owszem mają; różniczka to po prostu pochodna funkcji w punkcie x₀ a pochodna f' (dokładniej funkcja pochodna) funkcji f to funkcja, która każdemu x∊D_f przyporządkowuje różniczkę f czyli jej pochodną w p−cie x potocznie: różniczkowanie to wyznaczanie funkcji pochodnych (czyli potocznie pochodnych)

Miś: Różniczka jest to przyrost dy zmiennej zależnej y lub przyrost df funkcji f(x), przy czym f(x) jest funkcją ciągłą oraz w każdym punkcie otoczenia punktu x₀ istnieje jej pochodna. Różniczka równa jest iloczynowi pochodnej tej funkcji w danym punkcie x₀ i przyrostu zmiennej niezależnej x − tj. dy = df(x₀) = f '(x₀)dx.