Zadanko Michał: Udowodnij że styczne w punktach A i B są prostopadłe. Prosta o równaniu y= kx przecina wykres funkcji f określonej wzorem f(x)=¹₂x²− ¹₂ w dwóch punktach A i B. Udowodnij, że styczne do wykresu tej funkcji w punktach A i B są prostopadłe. Mam problem z zapisem głownie, wiem że mam zapisać współrzędne A i B, ale nie wiem jak je napisać.

Mila: Co już policzyłeś?

Michał: Padłem właśnie na liczeniu tych punktów, nie wiem jak je policzyć.

Mila: A=(x_a,y_A) B(x_B,y_B) styczne: a: y=f'(x_A)x+b₁ b: y=f'(x_B)x+b₂ f'(x)=x

	1		1
f(x)=		x2−
	2		2

y=kx Punkty przecięcia: ( a właściwie tylko wsp. x−owe)

1		1
	x2−		=kx
2		2

⇔

1		1
	x2−kx−		=0
2		2

Prosta ma przecinać parabolę w dwóch różnych punktach⇔ Δ>0 Δ=4k²+4>0 dla każdego k∊R √Δ=2√k²+1 x₁=k−√k²+1=x_A lub x₂=k+√k²+1=x_B f'(x_A)=k−√k²+1 f'(x_B)=k+√k²+1 Styczne: a: y=(k−√k²+1)+b₁ b: y=(k+√k²+1)+b₂ (k−√k²+1)*(k+√k²+1)=k²−k²−1=−1⇔a⊥B cnw

Predator: Dzięki za rozpisanie całego zadania Ja nie byłem właśnie w stanie policzyć. Właśnie tej Δ. Δ=4k2+4 i dlaczego √Δ=2√k2+1 ?

Mila: √4k²+4=√4*(k²+1)=2√k²+1

Ktostam: Dlaczego pierwiastek tego równania to pochodna?

Jerzy: Pochodna funkcji w punkcie jest współczynnikiem kierunkowym stycznej w tym punkcie.

Ktostam: Aha, dziękuję, rozumiem. A jeżeli chciałbym obliczyć parametr k w zadaniu, w którym prosta y=kx przecina funkcję kwadratową f(x) =x²−4k w dwóch punktach, tak aby styczne do niej były prostopadłe? To analogicznie?

Matfiz: Może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego jak chcemy wykazać, że styczne są prostopadłe to mnożymy pochodne tej paraboli? nie ogarniam tego

Saizou : Dwie proste są równolegle, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1. Pochodna funkcji w punkcie, to akurat współczynnik kierunkowy stycznej.

Matfiz: Aaaaaa faktycznie, dzięki za wyjaśnienie

wredulus_pospolitus: Zacznijmy od tego że wartość pochodnej w punkcie x_o jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu f(x) w punkcie P(x_o, f(x_o)) Dwie proste są prostopadłe gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych = −1

Matfiz: Teraz już to widzę