Wyznacz sumę n początkowych ciągu <hel> qwerty: Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu (2, 22, 222, ...)

Basia: a₁=2 a₂=22=2*10+2=2*10¹+2 a₃=222=2*100+2*10+2 = 2*10²+2*10¹+2 a₄=2222=2*1000+2*100+2*10+2 = 2*10³+2*10²+2*10¹+2 a₅=22222=2*10000+2*1000+2*100+2*10+2 = 2*10⁵+2*10⁴+2*10³+2*10²+2*10¹+2 .......................... a_n = 2*10ⁿ⁻¹+2*10ⁿ⁻²+....+2*10¹+2 S_n = 2*10ⁿ⁻¹ + 2*2*10ⁿ⁻² + 3*2*10ⁿ⁻³+ 4*2*10ⁿ⁻⁴+.....+(n−1)*2*10¹ + n*2 = n−1 ∑ (n−i)*2*10ⁱ i=0 czy to wystarczy ?

qwerty: nie rozumiem końcówki , jeszcze nie miałem newtona , a jakby ciąg sie składał z ( 1,11,111...)

Bogdan: 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 222...2 (w ostatnim składniku jest n dwójek) = 2*(1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 111...1) = = 2*[ (10⁰) + (10¹ + 10⁰) + (10² + 10¹ + 10⁰) + (10³ + 10² + 10¹ + 10⁰) + + (10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² + 10ⁿ⁻³ + ... + 10⁰) ] = S Każda suma w nawiasach okrągłych jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a₁ = 1, q = 10.

	101−1		102−1		103−1		104−1		10n−1
S = 2*(		+		+		+		+ ... +		) =
	9		9		9		9		9

	101 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n − n
= 2*		= S
	9

W liczniku mamy sumę n wyrazów ciągu geometrycznego.

	10n − 1   10 * − n   9		10(10n − 1) − 9n
S = 2*		= 2*		=
	9		81

	10n+1 − 9n − 10
= 2*
	81

	104 − 27 − 10		9963
Np. dla n = 3: 2+22+222 = 2*		= 2*		= 2*123 = 246,
	81		81

	105 − 36 − 10		99954
dla n = 4: 2+22+222+2222 = 2*		= 2*		= 2*1234 = 2468.
	81		81

	10n+1 − 9n − 10
Odp.: 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 222...2 = 2*
	81

AS: Bogdanie ubiegłeś mnie − podaję nieco inną wersję

	2
2 + 22 + 222 + . = 2*(1 + 11 + 111 + ...) =		*(9 + 99 + 999 + ...) =
	9

2		2
	*[(10 − 1) + (100 − 1) + ..] =		*[(10 + 102 + ...) − n] =
9		9

2		10*(10n − 1)		2
	*[		− n] =		*[(10*(10n − 1) − 9*n]
9		10 − 1		81

Nikka: ile propozycji rozwiązań...

qwerty: czyli które jest poprawne

qwerty: dzięki za propozycje teraz to do mnie przemawia