Wyliczyć z dokładnością do 0,001 Benny: Wyliczyć z dokładnością do 0,001 potęgę 1,0005³⁶

Benny:

Bogdan: 1.018158396193373999584638576 a teraz sam zaokrągli tę liczbę

Bogdan: jeszcze dokładniej 1,01815839619337399958463857524176939112416277949971203855848680211128542609 0846431641805263289537262647158599029645440183230675756931304931640625

Benny: W jaki sposób to w ogóle policzyć? Zastanawiałem się nad trójkątem pascala, ale za dużo pisania.

Bogdan: Nie jest narzucona metoda obliczania, więc bierzemy kalkulator i ... klik

Bogdan: można także posłużyć się logarytmami

Benny: Jak to będzie wyglądało za pomocą logarytmów? Do zadania jest podana wskazówka, że 1,0005=1+0,0005 ale nie wiem czemu ma ona służyć

Benny:

Benny: Bogdan, poratuj

Bogdan: przepraszam, teraz mam inne zajęcia, wrócę wieczorem

Benny: Ok

PW: Benny, a nie uczyłeś się ostatnio o twierdzeniu Taylora (rozwijaniu funkcji w szereg w otoczeniu punktu)?

Benny: Powiem Ci tak, jestem w klasie maturalnej, ale wypożyczyłem sobie analizę matematyczna część pierwszą i staram się czegoś sam nauczyć. Jest to dopiero początek książki i o takim twierdzeniu nie słyszałem.

PW: No to cierpliwie rozwijaj

	1		36 0		36 1		1		36 2		1
(1+		)36 =		+		·		+		·		+ ...
	2000						2000				20002

aż stwierdzisz, że pozostałe wyrazy są na tyle małe, że dalej nie warto liczyć, bo ich suma jest mniejsza niż zakładany błąd przybliżenia. Zauważ, że suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa

	36
1 +		= 1,018,
	2000

co jest już niezłym wynikiem, gdy spojrzysz na podane przez Bogdana przybliżenia. Oszacowanie sumy pozostałych składników wymaga jednak pewnej wprawy, nie jest łatwe, choć mianowniki rosną jak szalone .. Nie można tak sobie powiedzieć "kończę na trzecim składniku, bo mi się dalej nie chce liczyć".

Benny: Jest może jeszcze jakiś sposób na rozwiązanie tego? Pytam tak z ciekawości

PW: A może byś tak dokończył ten jeden sposób? Pozostałe są trudniejsze, nie znasz teorii. Policzyliśmy sumę dwóch składników, jest równa 0,018. Zastanów się − jaki jest największy ze współczynników

	36 k

dla k = 2, 3, 4, ..., 36 i jaki jest największy z ułamków

	1
		.
	2000k

Żaden ze składników (a jest ich 35) nie przekroczy iloczynu tych dwóch największych. Od czego jest mniejsza suma, której nie chce nam się liczyć?

Benny: No jak już wcześniej napisałeś ta suma jest mniejsza od błędu przybliżenia(0,001). Dokładnie

	36 k
nie za bardzo wiem o co Ci chodzi. Dla k=18 liczba		jest najmniejsza

PW: Dlatego napisałem "Oszacowanie sumy pozostałych składników wymaga jednak pewnej wprawy". Myśl głowo, kupię ci czapkę.

Benny: Chyba nie myślę ... Pozostaje mi raczej policzyć to trochę na piechotę, bo raczej nic nie wymyślę

Benny: Suma 3 i 4 wyrazu jest równa 0,0001583925 liczba ta w przybliżeniu do 0,001 jest równa 0 więc moim zdaniem dalej nie trzeba liczyć i wynik zostawić 1,018

Bogdan: Wracam do tematu. Jeśli zaangażujemy rachunek różniczkowy, to można skorzystać z zależności: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)*Δx Mamy obliczyć przybliżoną wartość liczby 1,0005³⁶ f(x) = xⁿ, f'(x) = 36x³⁵, x₀ = 1, Δx = 0,0005, f(x₀) = f(1) = 1³⁶ = 1, f'(x₀) = f'(1) = 36*1³⁵ = 36 1,0005³⁶ ≈ 1 + 36*0,0005 = 1,018

Benny: A skąd taka fajna zależność?

Benny: I co jeśli trzeba byłoby policzyć np. z dokładnością do 0,000001?

Bogdan: zaprzyjaźnij się z różniczką funkcji

Bogdan: określoną dokładność można uzyskać korzystając z szeregu Taylora, ale o tym już wiesz

Benny: Ach mogliby więcej materiału z różniczką funkcji realizować w liceum